Quais dos seguintes subconjuntos do \mathbf{R}^{4} são subespaços do \mathbf{R}^{4}. O conjunto de todos os vetores do tipo:
(a,b,c,d), onde a=0 e b=-d.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = \{(a,b,c,d)\in \mathbf{R}^4 \mid a=0,\;b=-d\}.
Queremos verificar se S é um subespaço de \mathbf{R}^4. Para isso, basta mostrar que S contém o vetor nulo e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar — ou, de forma mais direta, exibir S como o span de alguns vetores.

Passo 2

Impondo a=0 e b=-d, podemos escrever
b = t,\quad c = s,\quad d=-t,
com s,t\in\mathbf{R}. Logo um vetor genérico de S é
(0,b,c,d) = (0,t,s,-t) = t\,(0,1,0,-1) \;+\; s\,(0,0,1,0).

Passo 3

Da expressão acima segue que
S = \Span\bigl\{(0,1,0,-1),\,(0,0,1,0)\bigr\}.
Como um span de vetores sempre contém o vetor nulo e é fechado em relação a soma e multiplicação por escalar, concluímos que S é de fato um subespaço de \mathbf{R}^4.

Resposta

S é subespaço de \mathbf{R}^4, pois
S = \Span\bigl\{(0,1,0,-1),\,(0,0,1,0)\bigr\}.

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