Seja \mathbf{R}^{+}o conjunto de todos os números reais positivos. Defina a multiplicação por escalar por \alpha o \mathbf{x}=\mathbf{x}^{\alpha} e para todo \mathbf{x} \in \mathbf{R}^{+}e todo \alpha real. A adição por \mathbf{x} \oplus \mathbf{y}=\mathbf{x y} para todo xey \in \mathbf{R}^{+}. V= R+ é um espaço vetorial com estas operações?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto V=\mathbf{R}^+ de reais positivos com “soma” e “multiplicação por escalar” definidas por
x\oplus y = x\,y, \qquad \alpha\odot x = x^{\alpha},
para todo x,y\in\mathbf{R}^+ e todo \alpha\in\mathbf{R}. Queremos ver se (V,\oplus,\odot) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbf{R}.

Passo 2

Verificamos primeiro que (V,\oplus) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: se x,y>0 então x\oplus y = x\,y>0, logo x\oplus y\in V.
  2. Associatividade: (x\oplus y)\oplus z = (x\,y)\,z = x\,(y\,z) = x\oplus(y\oplus z).
  3. Elemento neutro: escolhemos e=1 pois x\oplus 1 = x\cdot1 = x e 1\oplus x = 1\cdot x = x.
  4. Inverso: para cada x>0 existe x^{-1}=1/x em V tal que x\oplus x^{-1}=x\cdot(1/x)=1=e.
  5. Comutatividade: x\oplus y = x\,y = y\,x = y\oplus x.

Passo 3

Verificamos que a multiplicação por escalar está bem-definida e fecha em V: para todo \alpha\in\mathbf{R} e x>0,
\alpha\odot x = x^{\alpha}>0,
logo \alpha\odot x\in V.

Passo 4

Checamos os axiomas de compatibilidade entre \oplus e \odot:
  1. Distributividade da multiplicação escalar em relação à “soma” de vetores:
\alpha\odot(x\oplus y) = (x\oplus y)^{\alpha} = (x\,y)^{\alpha} = x^{\alpha}\,y^{\alpha} = \alpha\odot x \;\oplus\;\alpha\odot y.
  1. Distributividade da “soma” de escalares em relação ao vetor:
(\alpha+\beta)\odot x = x^{\alpha+\beta} = x^{\alpha}\,x^{\beta} = \alpha\odot x \;\oplus\;\beta\odot x.
  1. Compatibilidade de escalares:
\alpha\odot(\beta\odot x) = \alpha\odot\bigl(x^{\beta}\bigr) = (x^{\beta})^{\alpha} = x^{\alpha\beta} = (\alpha\beta)\odot x.
  1. Ação do escalar 1:
1\odot x = x^{1} = x.

Passo 5

Todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbf{R} estão satisfeitos (já que (V,\oplus) é grupo abeliano, \odot fecha em V e as propriedades distributivas e de compatibilidade entre escalares e vetores valem). Além disso, nota-se um isomorfismo canônico com (\mathbf{R},+) via x\mapsto\ln x, reforçando que é de fato um espaço vetorial.

Resposta

Sim. V=\mathbf{R}^+, com x\oplus y = x\,y e \alpha\odot x = x^{\alpha}, é um espaço vetorial sobre \mathbf{R}.

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