Seja
o conjunto de todos os números reais positivos. Defina a multiplicação por escalar por
o
e para todo
e todo
real. A adição por
para todo xey
. V= R+ é um espaço vetorial com estas operações?
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
de reais positivos com “soma” e “multiplicação por escalar” definidas por
para todo
e todo
. Queremos ver se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
Verificamos primeiro que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
então , logo . - Associatividade:
. - Elemento neutro: escolhemos
pois e . - Inverso: para cada
existe em tal que . - Comutatividade:
.
Passo 3
Verificamos que a multiplicação por escalar está bem-definida e fecha em
: para todo
e
,
logo
.
Passo 4
Checamos os axiomas de compatibilidade entre
e
:
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à “soma” de vetores:
- Distributividade da “soma” de escalares em relação ao vetor:
- Compatibilidade de escalares:
- Ação do escalar
:
Passo 5
Todos os axiomas de espaço vetorial sobre
estão satisfeitos (já que
é grupo abeliano,
fecha em
e as propriedades distributivas e de compatibilidade entre escalares e vetores valem). Além disso, nota-se um isomorfismo canônico com
via
, reforçando que é de fato um espaço vetorial.
Resposta
Sim.
, com
e
, é um espaço vetorial sobre
.