Seja V=\left\{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \\\ \boldsymbol{c} & \boldsymbol{d}\end{array}\right) ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d} \in \boldsymbol{R}\right\} o espaço vetorial das matrizes quadradas \boldsymbol{M}_{2 \times 2}. Sendo \boldsymbol{S}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right) ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \boldsymbol{R}\right\} e \boldsymbol{S}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{a} & \mathbf{0} \\\ \boldsymbol{c} & \mathbf{0}\end{array}\right) ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \in \boldsymbol{R}\right\} :
a) S_{1} e S_{2} são subespaços vetoriais de V ?
b) S=S_{1} \cap S_{2} é subespaço vetoriai de V ?
c) S_{1}+S_{2} é subespaço vetoriai de V ?
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
V = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix};\;a,b,c,d\in\mathbb R\right\}
Queremos verificar:
a) se S_{1} e S_{2} são subespaços de V;
b) se S = S_{1}\cap S_{2} é subespaço de V;
c) se S_{1}+S_{2} é subespaço de V.
Para cada caso, usamos o critério de subespaço: não-vazio (contém 0), fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação para S_{1}:
O vetor zero de V é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
que pertence a S_{1} (basta tomar a=b=0).
2. Se
X = \begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix}a_{2} & b_{2}\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
contém o zero e é fechado sob soma e escalar. Em teoria de espaços vetoriais, a soma de subespaços é sempre subespaço. Portanto, S_{1}+S_{2} é subespaço de V.
Resposta
a) Sim, S_{1} e S_{2} são subespaços de V.
b) Sim, S_{1}\cap S_{2} é subespaço de V.
c) Sim, S_{1}+S_{2} é subespaço de V.