Seja V=\left\{\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \\\ \boldsymbol{c} & \boldsymbol{d}\end{array}\right) ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d} \in \boldsymbol{R}\right\} o espaço vetorial das matrizes quadradas \boldsymbol{M}_{2 \times 2}. Sendo \boldsymbol{S}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right) ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \boldsymbol{R}\right\} e \boldsymbol{S}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{a} & \mathbf{0} \\\ \boldsymbol{c} & \mathbf{0}\end{array}\right) ; \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \in \boldsymbol{R}\right\} :
a) S_{1} e S_{2} são subespaços vetoriais de V ?
b) S=S_{1} \cap S_{2} é subespaço vetoriai de V ?
c) S_{1}+S_{2} é subespaço vetoriai de V ?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix};\;a,b,c,d\in\mathbb R\right\}
e dois subconjuntos
S_{1} = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix};\;a,b\in\mathbb R\right\},\quad S_{2} = \left\{\begin{pmatrix}a & 0\\\ c & 0\end{pmatrix};\;a,c\in\mathbb R\right\}.
Queremos verificar:
a) se S_{1} e S_{2} são subespaços de V;
b) se S = S_{1}\cap S_{2} é subespaço de V;
c) se S_{1}+S_{2} é subespaço de V.
Para cada caso, usamos o critério de subespaço: não-vazio (contém 0), fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação para S_{1}:
  1. O vetor zero de V é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
que pertence a S_{1} (basta tomar a=b=0).
2. Se
X = \begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix}a_{2} & b_{2}\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
estão em S_{1}, então
X+Y = \begin{pmatrix}a_{1}+a_{2} & b_{1}+b_{2}\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in S_{1}.
  1. Se \lambda\in\mathbb R,
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a_{1} & \lambda b_{1}\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in S_{1}.
Logo, S_{1} é subespaço de V.

Passo 3

Verificação para S_{2}:
  1. O zero também pertence a S_{2} (tomando a=c=0).
  2. Para
U = \begin{pmatrix}a_{1} & 0\\\ c_{1} & 0\end{pmatrix},\quad W = \begin{pmatrix}a_{2} & 0\\\ c_{2} & 0\end{pmatrix},
temos
U+W = \begin{pmatrix}a_{1}+a_{2} & 0\\\ c_{1}+c_{2} & 0\end{pmatrix}\in S_{2}.
  1. E para \mu\in\mathbb R,
\mu U = \begin{pmatrix}\mu a_{1} & 0\\\ \mu c_{1} & 0\end{pmatrix}\in S_{2}.
Portanto, S_{2} é subespaço de V.

Passo 4

Interseção S = S_{1}\cap S_{2}:
Em geral, a interseção de subespaços é sempre subespaço.
Especificamente,
S = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0&0\end{pmatrix}\right\} \cap \left\{\begin{pmatrix}a' & 0\c'&0\end{pmatrix}\right\} = \left\{\begin{pmatrix}a & 0\\\ 0&0\end{pmatrix};\;a\in\mathbb R\right\},
que contém 0 e é fechado sob soma e escalar. Logo, S é subespaço.

Passo 5

Soma S_{1}+S_{2}:
Por definição,
S_{1}+S_{2} = \{X+Y;\;X\in S_{1},\;Y\in S_{2}\}.
Note que todo X\in S_{1} e Y\in S_{2} têm entrada (2,2) igual a zero, logo em X+Y também. Assim
S_{1}+S_{2} = \left\{\begin{pmatrix}a_{1}+a_{2} & b_{1}\\\ c_{2} & 0\end{pmatrix}; a_{1},b_{1},a_{2},c_{2}\in\mathbb R\right\}
contém o zero e é fechado sob soma e escalar. Em teoria de espaços vetoriais, a soma de subespaços é sempre subespaço. Portanto, S_{1}+S_{2} é subespaço de V.

Resposta

a) Sim, S_{1} e S_{2} são subespaços de V.
b) Sim, S_{1}\cap S_{2} é subespaço de V.
c) Sim, S_{1}+S_{2} é subespaço de V.

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