Considere os vetores u=(1,-1,2), v=(3,1,5), w=(2,0,-3) e t=(8,2,7) do espaço V^3 :
(a) Verifique se u pode ser escrito como combinação linear de v, w e t;
(b) Verifique se w pode ser escrito como combinação linear de u, v e t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional V^3:
  • u = (1, -1, 2)
  • v = (3, 1, 5)
  • w = (2, 0, -3)
  • t = (8, 2, 7)
O conteúdo que vamos usar aqui é combinação linear de vetores. Basicamente, queremos ver se um vetor pode ser formado somando múltiplos de outros vetores. Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para ver se há uma solução.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Verificar se u pode ser escrito como combinação linear de v, w e t.
Isso significa que queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
u = av + bw + ct
Escrevendo isso para cada componente:
1 = 3a + 2b + 8c -1 = 1a + 0b + 2c 2 = 5a - 3b + 7c

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
-1 = a + 2c Rightarrow a = -1 - 2c
Substituímos a na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
1 = 3(-1 - 2c) + 2b + 8c 1 = -3 -6c + 2b + 8c 1 = -3 + 2b + 2c 4 = 2b + 2c 2 = b + c (Eq1)
Terceira equação:
2 = 5(-1 - 2c) -3b +7c 2 = -5 -10c -3b +7c 2 = -5 -3b -3c 7 = -3b -3c -7 = 3b + 3c -7 = 3(b + c)
Mas de (Eq.1), sabemos que b + c = 2, então:
-7 = 3(2) -7 = 6
Isso não faz sentido, já que -7 neq 6. Portanto, não há solução para esse sistema.

Resposta

Não, o vetor u não pode ser escrito como combinação linear dos vetores v, w e t.

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