Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
[c2 c a-b b-3 c a+2 b]: a, b, c em R

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que o subespaço é
S = l2c a - b b - 3c a + 2b : a,b,cinRr
O conteúdo é Álgebra Linear: achar uma base e a dimensão de um subespaço. Para resolver a gente vai usar:
  1. representação paramétrica do vetor genérico;
  2. identificação dos vetores geradores;
  3. teste de independência linear;
  4. definição de dimensão como número de vetores da base.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o vetor genérico como combinação linear dos parâmetros a,b,c. Note que
2c a - b b - 3c a + 2b = a0 1 0 1 + b0 -1 1 2 + c2 0 -3 0
Logo, todo vetor de S está em
spanlv1,v2,v3r,
onde
v1 = 0 1 0 1, v2 = 0 -1 1 2, v3 = 2 0 -3 0

Passo 3

Agora testamos se [{v_1,v_2,v_3}) é LI (linearmente independente). A gente faz
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem . Da segunda, . A quarta fica , ok. Só a solução trivial existe, então são independentes.

Resposta

Base:
l,(0,1,0,1)^T,;(0,-1,1,2)^T,;(2,0,-3,0)^Tr.
Dimensão: 3.

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