Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que o subespaço é
O conteúdo é Álgebra Linear: achar uma base e a dimensão de um subespaço. Para resolver a gente vai usar:
- representação paramétrica do vetor genérico;
- identificação dos vetores geradores;
- teste de independência linear;
- definição de dimensão como número de vetores da base.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o vetor genérico como combinação linear dos parâmetros
a,b,c . Note que
Logo, todo vetor de
S está em
onde
Passo 3
Agora testamos se [{v_1,v_2,v_3}) é LI (linearmente independente). A gente faz
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem . Da segunda,
. A quarta fica
, ok. Só a solução trivial existe, então são independentes.
Resposta
Base:
l,(0,1,0,1)^T,;(0,-1,1,2)^T,;(2,0,-3,0)^Tr .
Dimensão:3 .
Dimensão: