Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
[ca+b 2 a 3 a-b -b]: a, b em R

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o subespaço
S = la+b2a3a-b-b : a,binRr,
e a gente precisa (a) achar uma base e (b) calcular a dimensão. Isso é assunto de espaços vetoriais: subespaços, combinações lineares, base e dimensão. Vamos usar o fato de que um vetor que depende de parâmetros pode ser escrito como combinação linear de vetores “fixos”.

Passo 2

Escreve o vetor genérico de S destacando a e b:
a+b2a3a-b-b = a1230 + b10-1-1
Aqui a gente só separou os termos em a e em b.

Passo 3

Isso mostra que todo vetor de [S) é combinação dos vetores
Agora, precisamos ver se é linearmente independente. Para isso, se
levar só a , já era base.
Da segunda equação . Da primeira . Então são LI.

Passo 4

Como v1,v2 gera S e é LI, é uma base de S. O número de vetores na base é 2, logo dim(S)=2.

Resposta

(a) Uma base de S é
l(1,2,3,0)^T,,(1,0,-1,-1)^Tr
(b) dim(S)=2.

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