Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
queremos (a) uma base de
W e (b) a dimensão de
W . Vamos usar combinação linear e cálculo do posto (rank) dos vetores geradores.
Passo 2
Escrevemos o vetor genérico como combinação de parâmetros
a,b,c :
Logo,
W=spanv1,v2,v3 .
Passo 3
Para ver quantos desses vetores são independentes, montamos a matriz cujas colunas são
v1,v2,v3 e fazemos eliminação de Gauss:
Há
2 pivôs, logo o posto é
2 .
Passo 4
Como o posto é
2 , apenas dois vetores são necessários para gerar
W . Observamos também que
de modo que
v3 é combinação de
v1 e
v2 . Assim,
v1,v2 é um conjunto independente que gera
W .
Resposta
(a) Uma base de
W é
(b) A dimensão de
W é
2 .