Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
[ca-4 b-2 c 2 a+5 b-4 c -a+2 c -3 a+7 b+6 c]: a, b, c em R

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W = la-4b-2c2a+5b-4c-a+2c-3a+7b+6c:a,b,cinRr
queremos (a) uma base de W e (b) a dimensão de W. Vamos usar combinação linear e cálculo do posto (rank) dos vetores geradores.

Passo 2

Escrevemos o vetor genérico como combinação de parâmetros a,b,c:
a-4b-2c 2a+5b-4c -a+2c -3a+7b+6c = aunderbrace12-1-3v1 + bunderbrace-4507v2 + cunderbrace-2-426v3
Logo, W=spanv1,v2,v3.

Passo 3

Para ver quantos desses vetores são independentes, montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3 e fazemos eliminação de Gauss:
1 & -4 & -2 2 & 5 & -4 -1& 0 & 2 -3& 7 & 6 ;xrightarroweliminação; 1 & -4 & -2 0 & 13 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 çã
2 pivôs, logo o posto é 2.

Passo 4

Como o posto é 2, apenas dois vetores são necessários para gerar W. Observamos também que
v3 = -2,v1 + 0,v2,
de modo que v3 é combinação de v1 e v2. Assim, v1,v2 é um conjunto independente que gera W.

Resposta

(a) Uma base de W é
12-1-3,;-4507
(b) A dimensão de W é 2.

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