Para cada subespaço, nos Exercícios 1 a 8 , (a) encontre uma base e (b) calcule a dimensão.
[c3 a+6 b-c 6 a-2 b-2 c -9 a+5 b+3 c -3 a+b+c]: a, b, c em R

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
S = 3a+6b-c6a-2b-2c-9a+5b+3c-3a+b+c:a,b,cinR
e pede (a) uma base de S e (b) a dimensão de S. O conteúdo envolve subespaços de R^n, geração, independência linear e dimensão.

Passo 2

Para ver um sistema gerador, note que qualquer vetor em S pode ser escrito como combinação linear
3a+6b-c6a-2b-2c-9a+5b+3c-3a+b+c = a,underbrace36-9-3v1 + b,underbrace6-251v2 + c,underbrace-1-231v3
Logo
S = spanv1,v2,v3

Passo 3

Para obter uma base, verificamos dependência entre v1,v2,v3. Observando
-tfrac13,v1 = -1-231 = v3,
vemos que v3 é combinação linear de v1. Além disso v1 e v2 não são múltiplos entre si, logo são linearmente independentes.

Passo 4

Portanto v1,v2 é base de S e
dim(S)=2

Resposta

Uma base é
36-9-3, 6-251,
e dim(S)=2.

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