Para cada subespaço H nos exercícios 1 a 6, determine uma base de H e sua dimensão.
H=(s-2 t, s+t, 4 t) ; s, t in R.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
H = (s - 2t,;s + t,;4t)mid s,tinR
e pede uma base de H e sua dimensão. Aqui o conteúdo é que qualquer subespaço gerado por parâmetros pode ser escrito como combinação linear de vetores “geradores”, e a base é um conjunto mínimo de geradores linearmente independentes. A dimensão é simplesmente o número de vetores dessa base.

Passo 2

Observe que todo vetor de se escreve como
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Passo 3

Para verificar que (1,1,0),(-2,1,4) é um sistema de vetores independente, basta ver que nenhum múltiplo escalar de (1,1,0) pode gerar (-2,1,4) (elas têm a terceira coordenada diferente de zero no segundo vetor). Formalmente, se
alpha,(1,1,0) + beta,(-2,1,4) = (0,0,0),
na terceira coordenada vem betacdot4=0, logo beta=0, e daí alpha=0. Logo os vetores são independentes.

Passo 4

Como eles geram todo H e são independentes, formam uma base de H. São dois vetores, então

Resposta

Uma base de H é
(1,1,0),;(-2,1,4),
e dim(H)=2.

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