Para cada subespaço
nos exercícios 1 a 6, determine uma base de
e sua dimensão.
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede uma base de
e sua dimensão. Aqui o conteúdo é que qualquer subespaço gerado por parâmetros pode ser escrito como combinação linear de vetores “geradores”, e a base é um conjunto mínimo de geradores linearmente independentes. A dimensão é simplesmente o número de vetores dessa base.
Passo 2
Observe que todo vetor de
se escreve como
Logo
Passo 3
Para verificar que
é um sistema de vetores independente, basta ver que nenhum múltiplo escalar de
pode gerar
(elas têm a terceira coordenada diferente de zero no segundo vetor). Formalmente, se
na terceira coordenada vem
, logo
, e daí
. Logo os vetores são independentes.
Passo 4
Como eles geram todo
e são independentes, formam uma base de
. São dois vetores, então
Resposta
Uma base de
é
e
.