Para cada subespaço W :
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
W=\{(2 t, t): t \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado fornece o subconjunto W de \mathbb{R}^2 e pede três coisas sobre ele:
  • (i) uma descrição geométrica de W;
  • (ii) uma base de W;
  • (iii) a dimensão de W.
Informação dada: \;W=\{(2t,t):t\in\mathbb{R}\}.

Passo 2

Vamos reescrever W de forma que fique mais clara. Cada elemento de W tem a forma (2t,t). Isso pode ser visto como um múltiplo escalar do vetor (2,1). Em notação de vetores:
(2t,t)=t(2,1).
Portanto podemos escrever
W=\{t(2,1):t\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Interpretação geométrica (primeira observação): a expressão (2t,t) significa que todos os vetores de W estão na mesma direção do vetor (2,1) e variam apenas pelo fator escalar t. Geometricamente, o conjunto de todos os múltiplos escalares de um vetor não nulo em \mathbb{R}^2 é uma reta que passa pela origem.
Outra forma de ver a reta: se (x,y)\in W, então x=2t e y=t. Eliminando t obtemos a relação
x=2y \quad\text{ou}\quad y=\frac{x}{2}.
Isso descreve a reta que passa pela origem com inclinação \tfrac{1}{2} (ou com direção dada por (2,1)). Conclusão: geometricamente W é a reta através da origem em \mathbb{R}^2 direcionada pelo vetor (2,1).

Passo 4

Definição útil (aula rápida): dado um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\}, o span (ou subespaço gerado) é
\mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k:\alpha_i\in\mathbb{R}\}.
No nosso caso, como W=\{t(2,1):t\in\mathbb{R}\}, tem-se
W=\mathrm{span}\{(2,1)\}.
Ou seja, W é o subespaço gerado por um único vetor (2,1).

Passo 5

O que é uma base (mini-aula): uma base de um subespaço U é um conjunto de vetores que (1) gera U (todo vetor de U é combinação linear desses vetores) e (2) é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros). Para um subespaço unidimensional, qualquer vetor não nulo do subespaço gera-o e, sendo único na lista, é automaticamente linearmente independente.
Aplicando ao caso: (2,1) está em W e gera W porque todo vetor de W é t(2,1). Além disso (2,1)\neq(0,0), então o conjunto \{(2,1)\} é linearmente independente (a única combinação \alpha(2,1)=(0,0) exige \alpha=0). Logo \{(2,1)\} satisfaz as duas condições e é uma base de W.
Observação extra (útil em prova): qualquer outro vetor não-nulo de W também forma uma base singleton. Por exemplo, (1,\tfrac{1}{2}) ou (-4,-2) geram o mesmo subespaço; portanto \{(1,\tfrac{1}{2})\} ou \{(-4,-2)\} também são bases de W.

Passo 6

O que é dimensão (mini-aula): a dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base (todas as bases de um mesmo subespaço têm o mesmo número de vetores). Para um subespaço gerado por um único vetor não-nulo, a dimensão é 1.
Aplicando: como encontramos uma base com um vetor, \{(2,1)\}, a dimensão de W é
\dim(W)=1.

Passo 7

Recapitulando de forma prática (como responder rapidamente numa prova):
  • Reconheça a parametrização (2t,t)=t(2,1).
  • Conclua que W=\mathrm{span}\{(2,1)\} (reta passando pela origem).
  • Escolha \{(2,1)\} como base (ou qualquer vetor não nulo de W).
  • Dimensão é 1.

Resposta

(i) W é a reta passando pela origem em \mathbb{R}^2 com direção dada por (2,1) (equivalente a y=\tfrac{x}{2}).
(ii) Uma base é \{(2,1)\}.
(iii) \dim(W)=1.

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