Para cada subespaço
:
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
de
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
Passo 1
O enunciado fornece o subconjunto
de
e pede três coisas sobre ele:
- (i) uma descrição geométrica de
; - (ii) uma base de
; - (iii) a dimensão de
.
Informação dada:
Passo 2
Vamos reescrever
de forma que fique mais clara. Cada elemento de
tem a forma
. Isso pode ser visto como um múltiplo escalar do vetor
. Em notação de vetores:
Portanto podemos escrever
Passo 3
Interpretação geométrica (primeira observação): a expressão
significa que todos os vetores de
estão na mesma direção do vetor
e variam apenas pelo fator escalar
. Geometricamente, o conjunto de todos os múltiplos escalares de um vetor não nulo em
é uma reta que passa pela origem.
Outra forma de ver a reta: se
, então
e
. Eliminando
obtemos a relação
Isso descreve a reta que passa pela origem com inclinação
(ou com direção dada por
). Conclusão: geometricamente
é a reta através da origem em
direcionada pelo vetor
.
Passo 4
Definição útil (aula rápida): dado um conjunto de vetores
, o span (ou subespaço gerado) é
No nosso caso, como
, tem-se
Ou seja,
é o subespaço gerado por um único vetor
.
Passo 5
O que é uma base (mini-aula): uma base de um subespaço
é um conjunto de vetores que (1) gera
(todo vetor de
é combinação linear desses vetores) e (2) é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros). Para um subespaço unidimensional, qualquer vetor não nulo do subespaço gera-o e, sendo único na lista, é automaticamente linearmente independente.
Aplicando ao caso:
está em
e gera
porque todo vetor de
é
. Além disso
, então o conjunto
é linearmente independente (a única combinação
exige
). Logo
satisfaz as duas condições e é uma base de
.
Observação extra (útil em prova): qualquer outro vetor não-nulo de
também forma uma base singleton. Por exemplo,
ou
geram o mesmo subespaço; portanto
ou
também são bases de
.
Passo 6
O que é dimensão (mini-aula): a dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base (todas as bases de um mesmo subespaço têm o mesmo número de vetores). Para um subespaço gerado por um único vetor não-nulo, a dimensão é
.
Aplicando: como encontramos uma base com um vetor,
, a dimensão de
é
Passo 7
Recapitulando de forma prática (como responder rapidamente numa prova):
- Reconheça a parametrização
. - Conclua que
(reta passando pela origem). - Escolha
como base (ou qualquer vetor não nulo de ). - Dimensão é
.
Resposta
(i)
é a reta passando pela origem em
com direção dada por
(equivalente a
).
(ii) Uma base é .
(iii) .
(ii) Uma base é
(iii)