Para cada subespaço W :
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
W=\{(2 t, t,-t): t \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (i) Dar uma descrição geométrica de W.
  • (ii) Encontrar uma base de W.
  • (iii) Encontrar a dimensão de W.
Informações fornecidas:
  • W=\{(2t,t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}, subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos primeiro entender a forma geral de um vetor de W. Qualquer vetor em W tem a forma
(2t,t,-t)
onde t é um número real. É útil verificar propriedades de subespaço (só para fixar a ideia, mesmo que o enunciado já diga que é subespaço):
  • O vetor zero está em W tomando t=0: (2\cdot0,0,-0)=(0,0,0).
  • Soma: se u=(2t_1,t_1,-t_1) e v=(2t_2,t_2,-t_2) com t_1,t_2\in\mathbb{R}, então
u+v=(2(t_1+t_2),\,t_1+t_2,\,-(t_1+t_2)),
que é da forma (2t_3,t_3,-t_3) com t_3=t_1+t_2, logo u+v\in W.
  • Multiplicação por escalar: para \alpha\in\mathbb{R},
\alpha u=(2(\alpha t_1),\,\alpha t_1,\,-\alpha t_1),
que é da forma (2t',t',-t') com t'=\alpha t_1, então \alpha u\in W.
Essas verificações confirmam que W é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o zero.

Passo 3

Fatorando t do vetor genérico obtemos uma forma mais clara:
(2t,t,-t)=t\,(2,1,-1).
Isto mostra que todo vetor de W é um múltiplo escalar do vetor (2,1,-1).

Passo 4

Descrição geométrica: o conjunto de todos os múltiplos escalares de um vetor não-nulo em \mathbb{R}^3 é uma reta que passa pela origem e tem direção dada por esse vetor. Como todo vetor de W é t\,(2,1,-1), W é exatamente a reta que passa pela origem e é dirigida pelo vetor (2,1,-1). Em outras palavras, W é uma reta unidimensional (uma subreta) em \mathbb{R}^3 passando pela origem.

Passo 5

Agora vamos encontrar uma base. Lembre a definição: uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram (span) todo o subespaço.
  • Geração: como vimos, qualquer vetor de W é t\,(2,1,-1), portanto
W=\operatorname{span}\{(2,1,-1)\},
ou seja, o conjunto \{(2,1,-1)\} gera W.
  • Independência linear: um conjunto com um único vetor v é linearmente independente se, e somente se, v\neq(0,0,0). Aqui (2,1,-1)\neq(0,0,0), logo é linearmente independente. Formalmente, se a(2,1,-1)=(0,0,0) então pelas componentes 2a=0 a=0.
Portanto \{(2,1,-1)\} é uma base de W. Observação prática: qualquer múltiplo não nulo de (2,1,-1), por exemplo (4,2,-2), também forma uma base (bases não são únicas).

Passo 6

Dimensão: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Aqui a base encontrada tem exatamente um vetor, então
\dim(W)=1.

Resposta

(i) W é a reta através da origem em \mathbb{R}^3 com direção (2,1,-1).
(ii) Uma base é \{(2,1,-1)\}.
(iii) \dim(W)=1.

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