Para cada subespaço
:
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
de
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (i) Dar uma descrição geométrica de
. - (ii) Encontrar uma base de
. - (iii) Encontrar a dimensão de
.
Informações fornecidas:
-
, subespaço de .
Passo 2
Vamos primeiro entender a forma geral de um vetor de
. Qualquer vetor em
tem a forma
onde
é um número real. É útil verificar propriedades de subespaço (só para fixar a ideia, mesmo que o enunciado já diga que é subespaço):
- O vetor zero está em
tomando : . - Soma: se
e com , então
que é da forma
com
, logo
.
- Multiplicação por escalar: para
,
que é da forma
com
, então
.
Essas verificações confirmam que
é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o zero.
Passo 3
Fatorando
do vetor genérico obtemos uma forma mais clara:
Isto mostra que todo vetor de
é um múltiplo escalar do vetor
.
Passo 4
Descrição geométrica: o conjunto de todos os múltiplos escalares de um vetor não-nulo em
é uma reta que passa pela origem e tem direção dada por esse vetor. Como todo vetor de
é
,
é exatamente a reta que passa pela origem e é dirigida pelo vetor
. Em outras palavras,
é uma reta unidimensional (uma subreta) em
passando pela origem.
Passo 5
Agora vamos encontrar uma base. Lembre a definição: uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram (span) todo o subespaço.
- Geração: como vimos, qualquer vetor de
é , portanto
ou seja, o conjunto
gera
.
- Independência linear: um conjunto com um único vetor
é linearmente independente se, e somente se, . Aqui , logo é linearmente independente. Formalmente, se então pelas componentes dá .
Portanto
é uma base de
. Observação prática: qualquer múltiplo não nulo de
, por exemplo
, também forma uma base (bases não são únicas).
Passo 6
Dimensão: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Aqui a base encontrada tem exatamente um vetor, então
Resposta
(i)
é a reta através da origem em
com direção
.
(ii) Uma base é .
(iii) .
(ii) Uma base é
(iii)