Para cada subespaço W :
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
W=\{(2 s-t, s, t, s): s, t \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{4}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado dá o subespaço
W=\{(2s-t,\; s,\; t,\; s)\;:\; s,t\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^{4}.
  • Perguntas a responder:
    (i) Dar uma descrição geométrica de W.
    (ii) Encontrar uma base de W.
    (iii) Encontrar a dimensão de W.

Passo 2

Passo natural: escrever o vetor genérico de W como combinação linear de vetores que não dependam de s,t. Pegando s e t como parâmetros, escrevemos
(2s-t,\; s,\; t,\; s)=s\,(2,1,0,1)+t\,(-1,0,1,0).
Isso veio simplesmente distribuindo os parâmetros nas componentes.

Passo 3

Explicação didática do conceito usado: o conjunto dos vetores que podem ser escritos como combinações lineares de alguns vetores chama-se span desses vetores. Da expressão do passo anterior concluímos que
W=\operatorname{span}\{\,v_1,v_2\,\},
onde
v_1=(2,1,0,1),\qquad v_2=(-1,0,1,0).
Isto significa que W é o conjunto de todas as combinações \alpha v_1+\beta v_2 com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora vamos checar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes (conceito importante: vetores independentes formam uma base do span que geram). Para isso, considere \[a\,v_1+b\,v_2=(0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} 2a - b = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] a = 0. \end{cases}
Das segunda e quarta equações vem imediatamente a=0\]. Da terceira vem \(b=0. Com a=b=0 a primeira é satisfeita. Portanto a única solução é a=b=0, o que prova que v_1 e v_2 são linearmente independentes.]

Passo 5

Conclusão sobre base e dimensão: como v_1 e v_2 geram W e são linearmente independentes, eles formam uma base de W. Logo uma base é
\{(2,1,0,1),\;(-1,0,1,0)\}.
O número de vetores da base é a dimensão do subespaço; portanto
\dim(W)=2.

Passo 6

Descrição geométrica adicional (útil para visualizar na prova): podemos eliminar os parâmetros s e t para obter equações lineares que definem W. Como x_2=s e x_3=t, as demais componentes satisfazem x_1=2s-t e x_4=s. Substituindo s=x_2 e t=x_3 obtemos as duas relações lineares
x_4 = x_2 \qquad\text{e}\qquad x_1 - 2x_2 + x_3 = 0.
Portanto W é a interseção de duas hipersuperfícies lineares em \mathbb{R}^4; geometricamente, é um plano bidimensional que passa pela origem (um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4), igual ao span dos vetores dados.

Resposta

(i) W é um plano bidimensional passando pela origem em \mathbb{R}^4; equivalentemente
W=\{(2s-t,s,t,s):s,t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(2,1,0,1),(-1,0,1,0)\}
ou ainda
W=\{x\in\mathbb{R}^4:\; x_4=x_2,\; x_1-2x_2+x_3=0\}. \) (ii) Uma base é \(\{(2,1,0,1),\;(-1,0,1,0)\}\). (iii) \(\dim(W)=2\).

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