Para cada subespaço W :
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão
W=\{(s+4 t, t, s, 2 s-t): s, t \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(s+4 t,\, t,\, s,\, 2 s-t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}
e pede três coisas:
  • (i) uma descrição geométrica de W;
  • (ii) uma base de W;
  • (iii) a dimensão de W.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Há dois parâmetros livres s e t.
  • Cada vetor de W é escrito em coordenadas em \mathbb{R}^{4} como (s+4t,\; t,\; s,\; 2s-t).

Passo 2

Transformar a forma paramétrica em uma combinação linear: separar os coeficientes de s e t.
Escrevendo componente a componente:
(s+4t,\; t,\; s,\; 2s-t) = s\,(1,0,1,2) + t\,(4,1,0,-1).
Aqui foi usado apenas a distributividade: cada componente foi reescrita como soma de um termo com s e outro com t.

Passo 3

Interpretação em termos de span (explicação didática):
  • Dado dois vetores v=(1,0,1,2) e w=(4,1,0,-1), o conjunto de todas as combinações lineares s v + t w com s,t\in\mathbb{R} é chamado de span \{v,w\}.
  • Portanto
W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),\,(4,1,0,-1)\}.
Breve lembrete do que significa span: é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como combinação linear dos vetores dados. Quando um subespaço tem essa forma, ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar se os geradores são linearmente independentes (explicação didática e conta passo a passo).
Queremos ver se existem escalares a,b\in\mathbb{R}\) não ambos nulos tais que \[a(1,0,1,2)+b(4,1,0,-1)=(0,0,0,0).
Escrevendo pelas componentes obtemos o sistema linear (cada linha é uma equação das componentes):
\begin{cases} a+4b=0,\\[4pt] 0\cdot a + 1\cdot b=0,\\[4pt] a+0\cdot b=0,\\[4pt] 2a - b=0. \end{cases}
Da segunda equação vem b=0\]. Substituindo \(b=0 na primeira dá a=0. As demais equações são satisfeitas por a=b=0. Logo a única solução é a trivial a=b=0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Explicação do conceito usado: vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero. Isso garante que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.]

Passo 5

Conclusão sobre a base (didática):
  • Como W é gerado por dois vetores e esses dois vetores são linearmente independentes, eles formam uma base de W.
  • Ou seja, uma base explícita é
\{(1,0,1,2),\; (4,1,0,-1)\}.
Lembrete: base é um conjunto de vetores que gera o subespaço (span) e é linearmente independente.

Passo 6

Dimensão (didática):
  • A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base do subespaço.
  • Como encontramos uma base com 2 vetores, a dimensão de W é 2.
    Interpretação geométrica final: em \mathbb{R}^{4}, um subespaço de dimensão 2 é geometricamente um plano que passa pela origem (um plano linear de dimensão 2), espremido dentro do espaço de quatro dimensões.

Passo 7

Exemplo curto para fixar a ideia (didática):
  • No caso de \mathbb{R}^2, \{(1,0),(0,1)\} é uma base e a dimensão é 2. Aqui fazemos o mesmo raciocínio em \mathbb{R}^4 mas com vetores que vivem em \mathbb{R}^4.

Resposta

(i) W é um plano bidimensional (um subespaço de dimensão 2) passando pela origem em \mathbb{R}^{4}, isto é, o conjunto de todas as combinações lineares de (1,0,1,2) e (4,1,0,-1).
(ii) Uma base é \{(1,0,1,2),\; (4,1,0,-1)\}.
(iii) \dim W = 2.

Exercícios relacionados