Para cada subespaço W :
(i) Dê uma descrição geométrica
(ii) Encontre uma base
(iii) Encontre a dimensão W=\{(s+4 t, t, s, 2 s-t): s, t \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{4}
Aqui foi usado apenas a distributividade: cada componente foi reescrita como soma de um termo com s e outro com t.
Passo 3
Interpretação em termos de span (explicação didática):
Dado dois vetores v=(1,0,1,2) e w=(4,1,0,-1), o conjunto de todas as combinações lineares s v + t w com s,t\in\mathbb{R} é chamado de span\{v,w\}.
Portanto
W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),\,(4,1,0,-1)\}.
Breve lembrete do que significa span: é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como combinação linear dos vetores dados. Quando um subespaço tem essa forma, ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar se os geradores são linearmente independentes (explicação didática e conta passo a passo).
Queremos ver se existem escalares a,b\in\mathbb{R}\) não ambos nulos tais que
\[a(1,0,1,2)+b(4,1,0,-1)=(0,0,0,0).
Escrevendo pelas componentes obtemos o sistema linear (cada linha é uma equação das componentes):
Da segunda equação vem b=0\]. Substituindo \(b=0 na primeira dá a=0. As demais equações são satisfeitas por a=b=0. Logo a única solução é a trivial a=b=0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Explicação do conceito usado: vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero. Isso garante que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.]
Passo 5
Conclusão sobre a base (didática):
Como W é gerado por dois vetores e esses dois vetores são linearmente independentes, eles formam uma base de W.
Ou seja, uma base explícita é
\{(1,0,1,2),\; (4,1,0,-1)\}.
Lembrete: base é um conjunto de vetores que gera o subespaço (span) e é linearmente independente.
Passo 6
Dimensão (didática):
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base do subespaço.
Como encontramos uma base com 2 vetores, a dimensão de W é 2.
Interpretação geométrica final: em \mathbb{R}^{4}, um subespaço de dimensão 2 é geometricamente um plano que passa pela origem (um plano linear de dimensão 2), espremido dentro do espaço de quatro dimensões.
Passo 7
Exemplo curto para fixar a ideia (didática):
No caso de \mathbb{R}^2, \{(1,0),(0,1)\} é uma base e a dimensão é 2. Aqui fazemos o mesmo raciocínio em \mathbb{R}^4 mas com vetores que vivem em \mathbb{R}^4.
Resposta
(i) W é um plano bidimensional (um subespaço de dimensão 2) passando pela origem em \mathbb{R}^{4}, isto é, o conjunto de todas as combinações lineares de (1,0,1,2) e (4,1,0,-1).
(ii) Uma base é \{(1,0,1,2),\; (4,1,0,-1)\}.
(iii) \dim W = 2.