Para cada um dos subespaços
abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal
de
:
Passo 1
O subespaço F está em
e é gerado pelos vetores
,
e
. Nosso objetivo é achar uma base ortonormal de
, isto é, os vetores ortogonais a todos os geradores de F e com norma 1.
Passo 2
Note que
, logo os dois primeiros vetores já geram F. Isso mostra que
e, portanto,
.
Passo 3
Para encontrar
impomos ortogonalidade aos dois vetores independentes. Se
, temos
Daí vem
e
, deixando
e
livres.
Passo 4
Escrevendo
e
, um vetor genérico de
é
Portanto uma base (não normalizada) de
é {
,
}.
Passo 5
Os dois vetores já são ortogonais entre si. Calculamos as normas:
e
. Basta normalizar o primeiro obtendo
e o segundo já tem norma 1 e permanece
.
Resposta
{,(\tfrac{-2}{\sqrt6},\tfrac{1}{\sqrt6},0,\tfrac{1}{\sqrt6}),,(0,0,1,0)}