Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :
F=S((1,2,0,0),(0,1,0,-1),(3,11,0,-5))

Passo 1

O subespaço F está em R^4 e é gerado pelos vetores (1,2,0,0), (0,1,0,-1) e (3,11,0,-5). Nosso objetivo é achar uma base ortonormal de F^perp, isto é, os vetores ortogonais a todos os geradores de F e com norma 1.

Passo 2

Note que (3,11,0,-5)=3(1,2,0,0)+5(0,1,0,-1), logo os dois primeiros vetores já geram F. Isso mostra que dim F=2 e, portanto, dim F^perp=4-2=2.

Passo 3

Para encontrar F^perp impomos ortogonalidade aos dois vetores independentes. Se x=(x1,x2,x3,x4), temos
x1+2x2=0
x2-x4=0
Daí vem x1=-2x2 e x4=x2, deixando x2 e x3 livres.

Passo 4

Escrevendo x2=t e x3=u, um vetor genérico de F^perp é
t(-2,1,0,1)+u(0,0,1,0).
Portanto uma base (não normalizada) de F^perp é { (-2,1,0,1), (0,0,1,0)}.

Passo 5

Os dois vetores já são ortogonais entre si. Calculamos as normas: |(-2,1,0,1)|=raiz6 e |(0,0,1,0)|=1. Basta normalizar o primeiro obtendo
tfrac1raiz6(-2,1,0,1)
e o segundo já tem norma 1 e permanece (0,0,1,0).

Resposta

{,(\tfrac{-2}{\sqrt6},\tfrac{1}{\sqrt6},0,\tfrac{1}{\sqrt6}),,(0,0,1,0)}

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