Para cada um dos subespaços
abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal
de
:
Passo 1
Neste exercício, temos que o subespaço F é dado por F=span
em
. O conteúdo é complemento ortogonal usando o produto interno canônico, e vamos precisar achar todos os vetores ortogonais aos dois geradores de F.
Passo 2
Para achar
, tomamos um vetor genérico
e impomos as condições de ortogonalidade:
e
.
Passo 3
Das equações
obtemos
e de
obtemos
. Então qualquer vetor de
tem a forma
,
logo uma base de é dada por
.
logo uma base de
Passo 4
Para transformar essa base em ortonormal, verificamos que os dois vetores são ortogonais (produto escalar zero) e cada um tem norma
. Normalizando, obtemos
e
.
Resposta
Uma base ortonormal para
é