Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :
F=S((1,0,1,0),(0,1,0,1))

Passo 1

Neste exercício, temos que o subespaço F é dado por F=span (1,0,1,0),(0,1,0,1) em R^4. O conteúdo é complemento ortogonal usando o produto interno canônico, e vamos precisar achar todos os vetores ortogonais aos dois geradores de F.

Passo 2

Para achar F^perp, tomamos um vetor genérico (x,y,z,w) e impomos as condições de ortogonalidade:
(x,y,z,w)cdot(1,0,1,0)=x+z=0 e
(x,y,z,w)cdot(0,1,0,1)=y+w=0.

Passo 3

Das equações x+z=0 obtemos z=-x e de y+w=0 obtemos w=-y. Então qualquer vetor de F^perp tem a forma
(x,y,-x,-y)=x(1,0,-1,0)+y(0,1,0,-1),
logo uma base de F^perp é dada por (1,0,-1,0),(0,1,0,-1).

Passo 4

Para transformar essa base em ortonormal, verificamos que os dois vetores são ortogonais (produto escalar zero) e cada um tem norma raiz2. Normalizando, obtemos
1raiz2(1,0,-1,0) e 1raiz2(0,1,0,-1).

Resposta

Uma base ortonormal para F^perp é
1raiz2(1,0,-1,0),;1raiz2(0,1,0,-1)

Exercícios relacionados