Determine se os conjuntos lla & 0 0 & b dados abaixo são subespaços de :
e

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = { a & 0 0 & b | a,b∈ℝ} é subespaço do espaço vetorial V = M_{2×2}(ℝ). Para isso, vamos usar o critério: W deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vemos se a matriz zero está em W. Basta escolher a = 0 e b = 0 para obter
02×2=0&00&0
que claramente pertence a W. Logo, W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos checar o fechamento. Tomemos
M=a&00&b, N=a'&00&b'in W
e um escalar λ∈ℝ. Então temos
M+N=a+a'&00&b+b'in W
e
λM=λa&00&λbin W
Portanto W é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço de V.

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