Sejam $ \beta={(1,0),(0,1)}, \beta_{1}={(-1,1),(1,1)}, \beta_{2}={(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)} $ e $ \beta_{3}={(2,0),(0,2)} $ bases ordenadas de $ \mathbb{R}^{2} $.
a) Ache as matrizes mudança de base:
i)
b) Ache as coordenadas do vetor
em relação às bases:
i) $ \beta $
ii) $ \beta_{1} $
iii) $ \beta_{2} $
iv) $ \beta_{3} $
c) Suponha que as coordenadas de um vetor
em relação à base $ \beta_{1} $ são dadas por
Encontre as coordenadas do vetor
em relação às bases:
i) $ \beta $
ii) $ \beta_{2} $
iii) $ \beta_{3} $
a) Ache as matrizes mudança de base:
i)
b) Ache as coordenadas do vetor
i) $ \beta $
ii) $ \beta_{1} $
iii) $ \beta_{2} $
iv) $ \beta_{3} $
c) Suponha que as coordenadas de um vetor
i) $ \beta $
ii) $ \beta_{2} $
iii) $ \beta_{3} $
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar mudança de base em
entre quatro bases ordenadas
, além de expressar coordenadas de vetores nessas bases. Vamos precisar usar a definição de matriz de mudança de base: para
, as colunas são as coordenadas dos vetores de
exprimidos em
, e para coordenadas de um vetor
, basta resolver o sistema que expressa
como combinação linear dos vetores da base escolhida.
Passo 2
Para achar
, escrevemos os vetores de
em coordenadas da base canônica
. Como
é a base canônica, as colunas da matriz são simplesmente
e
. Assim
Passo 3
Para
, basta inverter a matriz encontrada em passo anterior. Calculando o inverso de
com
, obtemos
Passo 4
Para
, usamos
. Em coordenadas canônicas temos as colunas
Passo 5
Para
, com
, obtemos
Passo 6
Para encontrar as coordenadas de
em cada base, resolvemos sistemas: em
(base canônica) é trivial
Passo 7
Em
, escrevemos
. Isso dá o sistema
cuja solução é .
cuja solução é
Passo 8
Em
, escrevemos
. O sistema
leva a .
leva a
Passo 9
Em
, escrevemos
, logo
e
Passo 10
Para a parte ©, primeiro traduzimos as coordenadas em
em um vetor em coordenadas canônicas:
significa
.
Em seguida, repetimos a mudança de base: em temos
Em seguida, repetimos a mudança de base: em
Passo 11
Em
, resolvemos
, o que dá
resultando em .
resultando em
Passo 12
Em
,
leva a
.
Resposta
a)
i)
ii)
iii)
iv)
b)
i)
b)
i)
ii)
iii)
iv)
c)
i)
c)
i)
ii)
iii)