Sejam $ \beta={(1,0),(0,1)}, \beta_{1}={(-1,1),(1,1)}, \beta_{2}={(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)} $ e $ \beta_{3}={(2,0),(0,2)} $ bases ordenadas de $ \mathbb{R}^{2} $.
a) Ache as matrizes mudança de base:
i)
b) Ache as coordenadas do vetor beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=(raiz3, 1),(raiz3,-1) em relação às bases:
i) $ \beta $
ii) $ \beta_{1} $
iii) $ \beta_{2} $
iv) $ \beta_{3} $
c) Suponha que as coordenadas de um vetor beta3=(2,0),(0,2) em relação à base $ \beta_{1} $ são dadas por
R^2
Encontre as coordenadas do vetor [I]beta^beta1 ii) ([I]beta1^beta iii) ([I]beta2^beta iv) ([I]beta3^beta em relação às bases:
i) $ \beta $
ii) $ \beta_{2} $
iii) $ \beta_{3} $

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar mudança de base em R^2 entre quatro bases ordenadas beta,beta1,beta2,beta3, além de expressar coordenadas de vetores nessas bases. Vamos precisar usar a definição de matriz de mudança de base: para [I]B^C, as colunas são as coordenadas dos vetores de C exprimidos em B, e para coordenadas de um vetor v, basta resolver o sistema que expressa v como combinação linear dos vetores da base escolhida.

Passo 2

Para achar [I]beta^beta1, escrevemos os vetores de beta1=(-1,1),(1,1) em coordenadas da base canônica beta. Como beta é a base canônica, as colunas da matriz são simplesmente [-1,1]^T e [1,1]^T. Assim
[I]beta^beta1 = -1 & 1 1 & 1

Passo 3

Para [I]beta1^beta, basta inverter a matriz encontrada em passo anterior. Calculando o inverso de A=-1&11&1 com det(A)=-2, obtemos
[I]beta1^beta = A^-1 = -tfrac121 & -1 -1 & -1 = -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12

Passo 4

Para [I]beta2^beta, usamos beta2=(raiz3,1),(raiz3,-1). Em coordenadas canônicas temos as colunas
[I]beta2^beta = raiz3 & raiz3 1 & -1

Passo 5

Para [I]beta3^beta, com beta3=(2,0),(0,2), obtemos
[I]beta3^beta = 2 & 0 0 & 2

Passo 6

Para encontrar as coordenadas de v=(3,-2) em cada base, resolvemos sistemas: em beta (base canônica) é trivial
[v]beta = 3 -2

Passo 7

Em beta1, escrevemos (3,-2)=c1(-1,1)+c2(1,1). Isso dá o sistema
-c1 + c2 = 3 c1 + c2 = -2
cuja solução é c1=-tfrac52,;c2=tfrac12.

Passo 8

Em beta2, escrevemos (3,-2)=c1(raiz3,1)+c2(raiz3,-1). O sistema
raiz3(c1+c2)=3 c1 - c2 = -2
leva a c1=tfracraiz3-22,;c2=tfracraiz3+22.

Passo 9

Em beta3, escrevemos (3,-2)=c1(2,0)+c2(0,2), logo 2c1=3,;2c2=-2 e
[v]beta3 = tfrac32 -1

Passo 10

Para a parte ©, primeiro traduzimos as coordenadas em beta1 em um vetor em coordenadas canônicas: [v]beta1=40 significa v=4(-1,1)+(0)(1,1)=(-4,4).
Em seguida, repetimos a mudança de base: em beta temos
[v]beta = -44

Passo 11

Em beta2, resolvemos (-4,4)=c1(raiz3,1)+c2(raiz3,-1), o que dá
raiz3(c1+c2)=-4 c1 -c2 =4
resultando em c1=2-tfrac2raiz3,;c2=-2-tfrac2raiz3.

Passo 12

Em beta3, (-4,4)=c1(2,0)+c2(0,2) leva a c1=-2,;c2=2.

Resposta

a)
i) [I]beta^beta1 = -1 & 11 & 1
ii) [I]beta1^beta = -tfrac12 & tfrac12tfrac12 & tfrac12
iii) [I]beta2^beta = raiz3 & raiz31 & -1
iv) [I]beta3^beta = 2 & 00 & 2
b)
i) [v]beta = 3-2
ii) [v]beta1 = -tfrac52tfrac12
iii) [v]beta2 = tfracraiz3-22tfracraiz3+22
iv) [v]beta3 = tfrac32-1
c)
i) [v]beta = -44
ii) [v]beta2 = 2 - tfrac2raiz3-2 - tfrac2raiz3
iii) [v]beta3 = -22

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