Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :

Passo 1

O enunciado dá o subespaço F={ (x₁,x₂,x₃,x₄)∈ℝ⁴ : x₁=x₃ } e pede uma base ortonormal de F⊥. O conteúdo é complemento ortogonal em espaços com produto interno padrão, e vamos precisar achar as condições que definem F⊥ e depois normalizar um vetor gerador.

Passo 2

Para achar F⊥, escrevemos um vetor genérico de F em função de parâmetros. Como x₁=x₃, qualquer vetor de F é (a,b,a,c). Então uma base de F é dada por (1,0,1,0), (0,1,0,0) e (0,0,0,1).
Um vetor v=(v₁,v₂,v₃,v₄) pertence a F⊥ se for ortogonal a cada vetor da base de F. Isso dá os produtos escalares:
– v·(1,0,1,0)=v₁+v₃=0
– v·(0,1,0,0)=v₂=0
– v·(0,0,0,1)=v₄=0

Passo 3

Logo as equações são v₁+v₃=0, v₂=0 e v₄=0, ou seja v=(t,0,−t,0).
Portanto F⊥=span{(1,0,−1,0)}. Para obtermos uma base ortonormal, normalizamos esse vetor. A norma de (1,0,−1,0) é √2, então um vetor unitário é (1/√2,0,−1/√2,0).

Resposta

Uma base ortonormal de F⊥ é { (1/√2, 0, −1/√2, 0) }.

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