Verifique se o conjunto de matrizes abaixo é L. I. ou L. D.
[rrr -1 & 2 & 1 3 & -2 & 4 ],[rrr 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0 ],[lll -1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de três matrizes 2×3 é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Estamos no contexto de independência linear em espaços vetoriais de matrizes e vamos precisar montar uma combinação linear dessas matrizes igual à matriz zero e verificar se existe solução não trivial para os coeficientes.

Passo 2

Denotemos as matrizes por
A=-1&2&13&-2&4, B=0&-1&2-2&1&0, C=-1&0&5-1&0&3
Escrevemos a combinação linear
c1A+c2B+c3C=02times3
e igualamos entrada a entrada para obter um sistema em c1,c2,c3.

Passo 3

Igualando cada entrada, obtemos o sistema
-,c1,+0cdot c2,-c3=0, 2c1,-c2=0, c1+2c2+5c3=0, 3c1-2c2-c3=0, -2c1+c2=0, 4c1+3c3=0
Das equações de segunda e quinta linha vem c2=2c1. Da primeira vem c1=-c3.

Passo 4

Substituindo c2=2c1 e c3=-c1 nas demais equações, vemos que todas se satisfazem exceto a última que dá
4c1+3(-c1)=c1=0
Logo c1=0, e daí c2=0 e c3=0. Só existe solução trivial.

Passo 5

Como só há solução trivial para os coeficientes (c1,c2,c3), as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto de matrizes é linearmente independente.

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