Verifique se o conjunto de matrizes abaixo é L. I. ou L. D.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de três matrizes 2×3 é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Estamos no contexto de independência linear em espaços vetoriais de matrizes e vamos precisar montar uma combinação linear dessas matrizes igual à matriz zero e verificar se existe solução não trivial para os coeficientes.
Passo 2
Denotemos as matrizes por
Escrevemos a combinação linear
e igualamos entrada a entrada para obter um sistema em .
Passo 3
Igualando cada entrada, obtemos o sistema
Das equações de segunda e quinta linha vem c2=2c1. Da primeira vem c1=-c3.
Passo 4
Substituindo c2=2c1 e c3=-c1 nas demais equações, vemos que todas se satisfazem exceto a última que dá
4c1+3(-c1)=c1=0
Logo c1=0, e daí c2=0 e c3=0. Só existe solução trivial.
Passo 5
Como só há solução trivial para os coeficientes (c1,c2,c3), as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto de matrizes é linearmente independente.