Usando o eliminação de Gauss (escalonamento), determine a solução ou justifique a sua inexistência. Em seguida, classifique a equação quanto a sua solução.
x+y+z & =2 x & =y+2 x+z & =1

Passo 1

Reescrevemos a segunda equação como x - y = 2 e identificamos que vamos usar eliminação de Gauss (escalonamento) para resolver o sistema

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema original:
1 & 1 & 1 &mid& 2 1 & -1 & 0 &mid& 2 1 & 0 & 1 &mid& 1

Passo 3

Aplicamos as operações elementares de linha para eliminar a coluna de x embaixo do pivô (linha 1): fazemos L2 L2 - L1 e L3 L3 - L1, obtendo:
1 & 1 & 1 &mid& 2 0 & -2 & -1 &mid& 0 0 & -1 & 0 &mid& -1

Passo 4

Eliminamos agora a entrada embaixo do pivô da segunda coluna: usamos L2 L2 - 2L3 e, se necessário, trocamos linhas para chegar à forma triangular:
1 & 1 & 1 &mid& 2 0 & -1 & 0 &mid& -1 0 & 0 & -1 &mid& 2

Passo 5

Fazemos retro‐substituição na forma triangular: da terceira linha temos -z=2 logo z=-2; da segunda -y=-1 logo y=1; e da primeira x+y+z=2 x=3.

Passo 6

Como obtivemos exatamente um triplo (x,y,z)=(3,1,-2), o sistema é possível e determinado

Resposta

A solução única é (x,y,z)=(3,1,-2); o sistema é possível e determinado.

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