Sejam cc1 & 2 0 & -1. Efetue os cálculos se possível. Justifique, caso contrário.
(a) ll1 & 1 0 & 1 1 & 0.
(b) ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & 1.
© ccc1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2.
(d) A+B, A B, B A, C^t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias operações de matrizes (soma, produto, transposta), determinantes e inversas das matrizes dadas. Vamos usar conceitos de dimensões para saber quando soma e produto são possíveis, a definição de transposta, a regra de Laplace ou de Sarrus para determinantes e a fórmula da inversa de matriz 2×2.

Passo 2

Para soma de matrizes, as dimensões devem coincidir. Para produto AB, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. A transposta troca linhas por colunas.

Passo 3

Parte (a):
– A+B: A é 2×2 e B é 3×2 ⇒ soma impossível.
– A B: A é 2×2 e B é 3×2 ⇒ produto impossível.
– B A: B é 3×2 e A é 2×2 ⇒ produto possível de dimensão 3×2.
– C^t: C é 2×3 ⇒ transposta será 3×2.

Passo 4

Calculando B A:
B= 1&10&11&0, A=1&20&-1
Multiplicando linha a linha:
BA=1cdot1+1cdot0 & 1cdot2+1cdot(-1) 0cdot1+1cdot0 & 0cdot2+1cdot(-1) 1cdot1+0cdot0 & 1cdot2+0cdot(-1) =1&10&-11&2

Passo 5

Calculando C^t:
C=1&1&00&-1&1 implies C^t=1&01&-10&1

Passo 6

Parte (b):
– Só matrizes quadradas têm determinante.
det A=1cdot(-1)-0cdot2=-1
det A^-1=1/(det A)=-1
B e C não são quadradas ⇒ determinantes não definidas.
– Calcular det D por Sarrus ou cofactores.

Passo 7

Calculando det D:
D=1&2&-11&0&11&1&2
Aplicando Sarrus:
det D=1cdotdet0&11&2-2cdotdet1&11&2+(-1)cdotdet1&01&1=-1-2-1=-4

Passo 8

Parte ©:
AB+BA: como AB é impossível, a soma não existe.
AB^t+C: calcular B^t, depois A B^t (2×2 × 2×3 = 2×3) e somar com C (2×3).
det(BC)+det(CB): calcular BC (3×2 × 2×3 = 3×3), CB (2×3 × 3×2 = 2×2), determinar ambos e somar.

Passo 9

Calculando AB^t+C e os determinantes:
B^t=1&0&11&1&0, A B^t=3&2&1-1&-1&0, C=1&1&00&-1&1
AB^t+C=3+1&2+1&1+0-1+0&-1-1&0+1 =4&3&1-1&-2&1
Para BC e CB:
BC=1&0&10&-1&11&1&0,det(BC)=0;
CB=1&21&-1,det(CB)=1cdot(-1)-1cdot2=-3;
det(BC)+det(CB)=-3

Passo 10

Parte (d):
A é 2×2 com det A=-1 ⇒ inversa existe e usa-se
A^-1=1/(ad-bc)d&-b-c&a
B e C não são quadradas ⇒ inversas não existem.

Passo 11

Calculando A^-1:
A=1&20&-1,det A=-1,
A^-1=1-1-1&-20&1= 1&20&-1

Resposta

(a) A+B e AB não são definidas;
BA=1&10&-11&2, C^t=1&01&-10&1
(b) det A=-1,;det A^-1=-1,;det B e det C não definidas, det D=-4
© AB+BA não definida;
AB^t+C=4&3&1-1&-2&1,det(BC)+det(CB)=-3
(d)
A^-1=1&20&-1,
B^{-1} e C^{-1} não existem.

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