Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :

Passo 1

Estamos em R^4 com o produto interno canônico e temos F={ (x₁,x₂,x₃,x₄)∈R^4: x₂=0 }. Queremos uma base ortonormal de F^⊥, o conjunto de todos os vetores perpendicular a qualquer vetor de F, isto é, que satisfaçam ⟨v,w⟩=0 para todo w∈F.

Passo 2

Tomamos w=(x₁,0,x₃,x₄)∈F e v=(y₁,y₂,y₃,y₄)∈R^4. Pelo produto interno canônico, ⟨v,w⟩=y₁x₁ + y₂·0 + y₃x₃ + y₄x₄.

Passo 3

Para que ⟨v,w⟩=0 para todo x₁,x₃,x₄ devemos ter y₁=0, y₃=0 e y₄=0, sem restrição em y₂. Logo v=(0,y₂,0,0) e F^⊥=span{(0,1,0,0)}.

Passo 4

O vetor (0,1,0,0) já tem norma 1 e forma, sozinho, uma base ortonormal de F^⊥.

Resposta

(0,1,0,0)

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