Para cada um dos subespaços
abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal
de
:
Passo 1
Estamos em R^4 com o produto interno canônico e temos F={ (x₁,x₂,x₃,x₄)∈R^4: x₂=0 }. Queremos uma base ortonormal de F^⊥, o conjunto de todos os vetores perpendicular a qualquer vetor de F, isto é, que satisfaçam ⟨v,w⟩=0 para todo w∈F.
Passo 2
Tomamos w=(x₁,0,x₃,x₄)∈F e v=(y₁,y₂,y₃,y₄)∈R^4. Pelo produto interno canônico, ⟨v,w⟩=y₁x₁ + y₂·0 + y₃x₃ + y₄x₄.
Passo 3
Para que ⟨v,w⟩=0 para todo x₁,x₃,x₄ devemos ter y₁=0, y₃=0 e y₄=0, sem restrição em y₂. Logo v=(0,y₂,0,0) e F^⊥=span{(0,1,0,0)}.
Passo 4
O vetor (0,1,0,0) já tem norma 1 e forma, sozinho, uma base ortonormal de F^⊥.