Verifique que o conjunto
é base do espaço vetorial
. Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes
, isto é, para
. Qual é a dimensão desse espaço?
Passo 1
O objetivo é mostrar que o conjunto dado é base de
e em seguida generalizar para
. Vamos usar os conceitos de geradores (span) e independência linear.
Passo 2
Para
: mostre que qualquer matriz
pode ser escrita como combinação linear das quatro matrizes: escrevemos
Isso mostra que elas geram todo
.
Passo 3
Ainda em
: verifique independência linear. Suponha
Igualando entradas, vemos que
. Logo, são linearmente independentes.
Passo 4
Para o caso geral
, definimos
como a matriz que tem 1 na posição
e zeros nas demais entradas. Então qualquer matriz
satisfaz
o que prova que as
matrizes
geram
. A independência linear segue do mesmo argumento das equações de coeficientes.
Passo 5
Portanto, o conjunto
é base de
e o número de vetores na base é
, que é a dimensão do espaço.
Resposta
Uma base de
é dada pelas matrizes
(1 em
, 0 nas outras entradas) para
. A dimensão desse espaço é
.