Verifique que o conjunto
[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
é base do espaço vetorial M(2,2). Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n times n, isto é, para M(n, n). Qual é a dimensão desse espaço?

Passo 1

O objetivo é mostrar que o conjunto dado é base de M(2,2) e em seguida generalizar para M(n,n). Vamos usar os conceitos de geradores (span) e independência linear.

Passo 2

Para M(2,2): mostre que qualquer matriz A=a&bc&d pode ser escrita como combinação linear das quatro matrizes: escrevemos
A = a 1&00&0 + b 0&10&0 + c 0&01&0 + d 0&00&1
Isso mostra que elas geram todo M(2,2).

Passo 3

Ainda em M(2,2): verifique independência linear. Suponha
alpha 1&00&0 + beta 0&10&0 + gamma 0&01&0 + de
Igualando entradas, vemos que alpha=beta=gamma=de. Logo, são linearmente independentes.

Passo 4

Para o caso geral M(n,n), definimos Eij como a matriz que tem 1 na posição (i,j) e zeros nas demais entradas. Então qualquer matriz A=(aij) satisfaz
A = sumi=1^n sumj=1^n aij,Eij,
o que prova que as n^2 matrizes Eij geram M(n,n). A independência linear segue do mesmo argumento das equações de coeficientes.

Passo 5

Portanto, o conjunto Eij:1<= i,j<= n é base de M(n,n) e o número de vetores na base é n^2, que é a dimensão do espaço.

Resposta

Uma base de M(n,n) é dada pelas matrizes Eij (1 em (i,j), 0 nas outras entradas) para 1<= i,j<= n. A dimensão desse espaço é n^2.

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