Verifique que os seguintes conjuntos, com operações de soma e multiplicação por escalar usuais, são espaços vetoriais:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
V = {p(x) = a + b x + c x² | a,b,c ∈ ℝ}, com soma e multiplicação escalar usuais de polinômios, é um espaço vetorial sobre ℝ. Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial: precisamos verificar que V é não-vazio, é fechado sob soma e multiplicação por escalar, existe vetor zero e inversos aditivos, e que as operações satisfazem as propriedades de associatividade, comutatividade, distributividade e elemento neutro.

Passo 2

Fechamento sob soma: sejam
p(x)=a₁ + b₁ x + c₁ x²
e
q(x)=a₂ + b₂ x + c₂ x²
em V. A soma é
p(x)+q(x) = (a₁+a₂) + (b₁+b₂)x + (c₁+c₂)x².
Como a₁+a₂, b₁+b₂, c₁+c₂ ∈ ℝ, então p+q também está em V.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar: seja α ∈ ℝ e p(x)=a + b x + c x² em V. Então
α·p(x)=αa + (αb)x + (αc)x².
Como αa, αb, αc ∈ ℝ, segue que α·p ∈ V.

Passo 4

Existência do vetor zero: o polinômio zero é
o(x) = 0 + 0·x + 0·x².
Ele pertence a V e satisfaz p(x)+o(x)=p(x) para todo p em V.

Passo 5

Existência de inversos aditivos: dado p(x)=a+bx+cx², seu inverso é
(-p)(x)=(-a)+(-b)x+(-c)x²,
que está em V e satisfaz p(x)+(-p)(x)=o(x).

Passo 6

Propriedades das operações: como soma e multiplicação escalar em V são as mesmas de ℝ[x], herdamos:
  • Soma comutativa e associativa.
  • Elemento neutro da soma é o polinômio zero.
  • Multiplicação escalar distributiva sobre soma de vetores e soma de escalares.
  • Associatividade entre escalares: (αβ)p = α(βp).
  • Elemento neutro escalar: 1·p = p.

Passo 7

Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que V é um espaço vetorial sobre ℝ.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre ℝ.

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