Usando o eliminação de Gauss (escalonamento), determine a solução ou justifique a sua inexistência. Em seguida, classifique a equação quanto a sua solução.
Passo 1
Estamos resolvendo um sistema de 3 equações lineares em 3 incógnitas usando eliminação de Gauss. O conteúdo é escalonamento de matrizes e precisamos aplicar operações elementares para levar a matriz aumentada a uma forma triangular e identificar soluções.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Usamos a primeira linha como pivô. Eliminamos o primeiro coeficiente de x abaixo dela:
Aplicamos R2 R2 - tfrac12 R1 e R3 R3 + R1. O resultado é:
Passo 4
Agora simplificamos a segunda linha multiplicando por 2:
Em seguida vemos que R2 2,R2 Rightarrow 2 & -1 & 0 & vru<= & 0 0 & 1 & 2 & vru<= & 2 0 & 1 & 2 & vru<= & 2 é igual a R3. Subtraindo-as, ficamos com uma linha zero:
Passo 5
Como o posto da matriz de coeficientes é 2 e temos 3 incógnitas, há uma variável livre. Escolhemos z = t como parâmetro. Da segunda linha:
y + 2z = 2 Rightarrow y = 2 - 2t
Da primeira linha:
2x - y = 0 Rightarrow x = y2 = 2 - 2t2 = 1 - t
Passo 6
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = (1 - t,;2 - 2t,;t), t in R
Como existe um parâmetro livre e o sistema é consistente, ele é um sistema compatível indeterminado.
Resposta
Soluções: (x,y,z) = (1 – t, 2 – 2t, t), t ∈ ℝ. Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).