Para cada um dos subespaços
abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal
de
:
Passo 1
No enunciado temos o subespaço
F={(x₁,x₂,x₃)∈ℝ³: x₁−2x₂+4x₃=0} e queremos uma base ortonormal de F^⊥. O conteúdo que vamos usar é o conceito de vetor normal a um hiperplano (complemento ortogonal) e normalização de vetores.
F={(x₁,x₂,x₃)∈ℝ³: x₁−2x₂+4x₃=0} e queremos uma base ortonormal de F^⊥. O conteúdo que vamos usar é o conceito de vetor normal a um hiperplano (complemento ortogonal) e normalização de vetores.
Passo 2
Um hiperplano dado pela equação x₁−2x₂+4x₃=0 tem como complemento ortogonal o conjunto dos múltiplos do vetor normal a essa equação. Basta identificar esse vetor normal
Passo 3
Para virar uma base ortonormal, precisamos de um vetor unitário paralelo a n. Primeiro calculamos o comprimento de n:
Passo 4
Dividindo n pelo seu comprimento, obtemos o vetor unitário
Resposta
{(\tfrac{1}{\sqrt{21}},-\tfrac{2}{\sqrt{21}},\tfrac{4}{\sqrt{21}})}