Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :

Passo 1

No enunciado temos o subespaço
F={(x₁,x₂,x₃)∈ℝ³: x₁−2x₂+4x₃=0} e queremos uma base ortonormal de F^⊥. O conteúdo que vamos usar é o conceito de vetor normal a um hiperplano (complemento ortogonal) e normalização de vetores.

Passo 2

Um hiperplano dado pela equação x₁−2x₂+4x₃=0 tem como complemento ortogonal o conjunto dos múltiplos do vetor normal a essa equação. Basta identificar esse vetor normal
n=(1,-2,4)

Passo 3

Para virar uma base ortonormal, precisamos de um vetor unitário paralelo a n. Primeiro calculamos o comprimento de n:
|n|=raiz1^2+(-2)^2+4^2=raiz1+4+16=raiz21

Passo 4

Dividindo n pelo seu comprimento, obtemos o vetor unitário
u=1raiz21(1,-2,4) Esse vetor é de norma 1 e está em F^⊥, logo forma uma base ortonormal de F^⊥.

Resposta

{(\tfrac{1}{\sqrt{21}},-\tfrac{2}{\sqrt{21}},\tfrac{4}{\sqrt{21}})}

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