Considere os subespaços vetoriais S1 e S2 de M(2,2) definidos por
l S1=[ll a & b c & d ] rvert, a=d, b=c , ll [ll a & b c & d ] rvert, a=c, b=d
Determine S1 cap S2 e dê uma base para esse subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado apresenta dois subespaços de M(2,2):
S1=[a;b;c;d]mid a=d,;b=c e S2=[a;b;c;d]mid a=c,;b=d. O que queremos é S1cap S2 e uma base para esse espaço. Precisaremos usar a ideia de interseção de subespaços e ver quais restrições se somam.

Passo 2

Em S1, toda matriz M=a&bc&d satisfaz a=d e b=c. Logo podemos escrever
M=a&bb&a,
onde a,bin R.

Passo 3

Em S2, a mesma matriz M satisfaz a=c e b=d. Então
M=a&ba&b,
novamente com a,bin R.

Passo 4

Para Min S1cap S2, essas duas formas devem coincidir. Comparando
a&bb&a=a&ba&b,
vemos que as entradas (2,1) e (2,2) impõem

em ambas as direções.

Passo 5

Substituindo b=a em qualquer uma das formas, obtemos
M=a&aa&a=a1&11&1
Isso mostra que
S1cap S2=,a1&11&1:ain R.

Passo 6

Como esse espaço é gerado por uma única matriz não nula, uma base natural é
1&11&1

Resposta

S_1\cap S_2={a 1&11&1:a\in\mathbb R},\quadbase=\left{ 1&11&1\right}

Exercícios relacionados