Considere os subespaços vetoriais e de definidos por
Determine S1 cap S2 e dê uma base para esse subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado apresenta dois subespaços de M(2,2): S1=[a;b;c;d]mid a=d,;b=c e S2=[a;b;c;d]mid a=c,;b=d. O que queremos é S1cap S2 e uma base para esse espaço. Precisaremos usar a ideia de interseção de subespaços e ver quais restrições se somam.
Passo 2
Em S1, toda matriz M=a&bc&d satisfaz a=d e b=c. Logo podemos escrever
M=a&bb&a,
onde a,bin R.
Passo 3
Em S2, a mesma matriz M satisfaz a=c e b=d. Então
M=a&ba&b,
novamente com a,bin R.
Passo 4
Para Min S1cap S2, essas duas formas devem coincidir. Comparando
a&bb&a=a&ba&b,
vemos que as entradas (2,1) e (2,2) impõem
em ambas as direções.
Passo 5
Substituindo b=a em qualquer uma das formas, obtemos
M=a&aa&a=a1&11&1
Isso mostra que S1cap S2=,a1&11&1:ain R.
Passo 6
Como esse espaço é gerado por uma única matriz não nula, uma base natural é 1&11&1