Determine se os conjuntos dados abaixo são subespaços de :
e

Passo 1

Temos a reta W=(x,y)inR^2mid y=1-x e o espaço V=R^2. O conteúdo é subespaços de espaços vetoriais e vamos usar o critério de subespaço para resolver.

Passo 2

Para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja subespaço, é suficiente (e necessário) que satisfaça três condições: (i) o vetor zero de V pertença a W; (ii) se u,vin W, então u+vin W; (iii) se uin W e alpha é escalar, então alpha uin W.

Passo 3

Verificamos a condição (i): o vetor zero em R^2 é (0,0). Substituindo em y=1-x temos
0 = 1 - 0
ou seja 0=1, o que é falso. Logo (0,0)notin W e W falha no critério de subespaço.

Resposta

W não é subespaço de R^2, pois não contém o vetor zero.

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