Usando o eliminação de Gauss (escalonamento), determine a solução ou justifique a sua inexistência. Em seguida, classifique a equação quanto a sua solução.
x+2 y-z & =-1 3 x+z & =3 x+2 z & =1 -x+y+2 z & =-2 5 x+8 y+3 z & =-3

Passo 1

O sistema dado é
x+2y - z &= -13x + z &= 3x + 2z &= 1-x + y + 2z &= -25x + 8y + 3z &= -3
Este é um problema de sistemas lineares que vamos resolver com eliminação de Gauss: montar a matriz aumentada, usar operações elementares para escalonar e depois fazer a substituição retroativa.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada associada ao sistema:
(!ccc|c1 & 2 & -1 & -13 & 0 & 1 & 31 & 0 & 2 & 1-1 & 1 & 2 & -25 & 8 & 3 & -3!)

Passo 3

Usamos a primeira linha (pivot em x) para zerar a coluna x nas linhas 2, 3, 4 e 5:
$$\begin{aligned}&R_2\leftarrow R_2-3R_1:;(3,0,1|3)-3(1,2,-1|-1)=(0,-6,4|6),\&R_3\leftarrow R_3-R_1:(1,0,2|1)-(1,2,-1|-1)=(0,-2,3|2),\&R_4\leftarrow R_4+R_1:(-1,1,2|-2)+(1,2,-1|-1)=(0,3,1|-3),\&R_5\leftarrow R_5-5R_1:(5,8,3|-3)-5(1,2,-1|-1)=(0,-2,8|2).
\end{aligned} &R2 R2-3R1:;(3,0,1|3)-3(1,2,-1|-1)=(0,-6,4|6),&R3 R3-R1:(1,0,2|1)-(1,2,-1|-1)=(0,-2,3|2),&R4 R4+R1:(-1,1,2|-2)+(1,2,-1|-1)=(0,3,1|-3),&R5 R5-5R1:(5,8,3|-3)-5(1,2,-1|-1)=(0,-2,8|2) \left(! (!ccc|c1 & 2 & -1 & -10 & -6 & 4 & 60 & -2 & 3 & 20 & 3 & 1 & -30 & -2 & 8 & 2!)!\right)$$

Passo 4

Agora usamos a segunda linha (pivot em y, coeficiente -6) para zerar abaixo na coluna y:
$$\begin{aligned}&R_3\leftarrow R_3-\tfrac{1}{3}R_2:(0,-2,3|2)-\tfrac{1}{3}(0,-6,4|6)=(0,0,\tfrac{5}{3}|0),\&R_4\leftarrow R_4+\tfrac{1}{2}R_2:(0,3,1|-3)+\tfrac{1}{2}(0,-6,4|6)=(0,0,3|0),\&R_5\leftarrow R_5-\tfrac{1}{3}R_2:(0,-2,8|2)-\tfrac{1}{3}(0,-6,4|6)=(0,0,\tfrac{20}{3}|0).
\end{aligned} &R3 R3-tfrac13R2:(0,-2,3|2)-tfrac13(0,-6,4|6)=(0,0,tfrac53|0),&R4 R4+tfrac12R2:(0,3,1|-3)+tfrac12(0,-6,4|6)=(0,0,3|0),&R5 R5-tfrac13R2:(0,-2,8|2)-tfrac13(0,-6,4|6)=(0,0,tfrac203|0) é\left(! (!ccc|c1 & 2 & -1 & -10 & -6 & 4 & 60 & 0 & tfrac53 & 00 & 0 & 3 & 00 & 0 & tfrac203 & 0!)!\right)$$

Passo 5

Usamos a terceira linha (pivot em z, coeficiente tfrac53) para zerar abaixo:
$$\begin{aligned}&R_4\leftarrow R_4-\tfrac{9}{5}R_3:(0,0,3|0)-\tfrac{9}{5}(0,0,\tfrac{5}{3}|0)=(0,0,0|0),\&R_5\leftarrow R_5-4R_3:(0,0,\tfrac{20}{3}|0)-4(0,0,\tfrac{5}{3}|0)=(0,0,0|0).
\end{aligned} &R4 R4-tfrac95R3:(0,0,3|0)-tfrac95(0,0,tfrac53|0)=(0,0,0|0),&R5 R5-4R3:(0,0,tfrac203|0)-4(0,0,tfrac53|0)=(0,0,0|0) é\left(! (!ccc|c1 & 2 & -1 & -10 & -6 & 4 & 60 & 0 & tfrac53 & 00 & 0 & 0 & 00 & 0 & 0 & 0!)!\right)$$

Passo 6

Não há linha do tipo 0=não-zeroã, logo o sistema é compatível. O posto da matriz dos coeficientes é 3 (igual ao número de incógnitas), então teremos solução única.
Fazendo a substituição retroativa:
tfrac53z=0implies z=0,-6y+4z=6implies -6y=6implies y=-1,x+2y-z=-1implies x+2(-1)-0=-1implies x=1

Resposta

A solução única é x=1, y=−1, z=0; o sistema é compatível determinado.

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