Encontre A^-1 caso exista. Justifique, caso contrário.
ccc1 & 2 & 3 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1,

Passo 1

O enunciado pede a inversa de A, que é um problema de conteúdo “inversão de matrizes 3×3” usando determinante e matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores). Vamos precisar calcular primeiro det(A) para saber se A é invertível e depois a matriz de cofatores para obter A⁻¹.

Passo 2

Para ver se A é invertível, calculamos det(A) aplicando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha. Temos:
det(A)=1det0 & 2 1 & -1-2det1 & 2 0 & -1+3det1 & 0 0 & 1
Calculando cada menor:
det0 & 2 1 & -1=0cdot(-1)-2cdot1=-2,
det1 & 2 0 & -1=1cdot(-1)-2cdot0=-1,
det1 & 0 0 & 1=1
Logo
det(A)=1cdot(-2)-2cdot(-1)+3cdot1=-2+2+3=3
Como det(A)=3neq0, A é invertível.

Passo 3

Para montar A⁻¹ usamos a matriz adjunta: calculamos a matriz de cofatores C, depois transposta e dividimos pelo determinante. Os cofatores são:
C11=det0 & 21 & -1=-2,;C12=-det1 & 20 & -1=1,;C13=det1 & 00 & 1=1,
C21=-det2 & 31 & -1=5,;C22=det1 & 30 & -1=-1,;C23=-det1 & 20 & 1=-1,
C31=det2 & 30 & 2=4,;C32=-det1 & 31 & 2=1,;C33=det1 & 21 & 0=-2
Assim a matriz de cofatores é
C=-2 & 1 & 15 & -1 & -14 & 1 & -2,
então a adjunta é
adj(A)=C^T=-2 & 5 & 41 & -1 & 11 & -1 & -2
Por fim
A^-1 = 1det(A)adj(A) = 13-2 & 5 & 41 & -1 & 11 & -1 & -2

Resposta

A^-1=13-2 & 5 & 41 & -1 & 11 & -1 & -2

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