Para cada um dos subespaços
abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal
de
:
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de F^{\perp}, onde F=Span{(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)}. O conteúdo envolvido é complemento ortogonal em R^5 e Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.
Passo 2
Para descrever F^{\perp}, usamos a condição x·(1,1,1,1,1)=0 e x·(0,0,0,0,1)=0. Isso dá o sistema de equações:
Passo 3
Da segunda equação vem x_5=0 e então x_1+x_2+x_3+x_4=0. Logo todo vetor em F^{\perp} é da forma (x_1,x_2,x_3,x_4,0) com soma dos quatro primeiros zero.
Escolhemos então três vetores independentes que satisfazem essas condições:
Escolhemos então três vetores independentes que satisfazem essas condições:
Passo 4
Aplicamos Gram–Schmidt a (u_1,u_2,u_3) para obter vetores ortogonais e depois normalizamos.
Calculamos primeiro:
Calculamos primeiro:
Passo 5
Em seguida projetamos u_2 sobre e_1 e definimos v_2=u_2-\mathrm{proj}_{e_1}(u_2), depois
Passo 6
Por fim projetamos u_3 sobre e_1 e e_2, definimos v_3=u_3-\mathrm{proj}{e_1}(u_3)-\mathrm{proj}{e_2}(u_3) e normalizamos:
Resposta
Uma base ortonormal de F^{\perp} é