Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :
F=S((1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1))

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de F^{\perp}, onde F=Span{(1,1,1,1,1),(0,0,0,0,1)}. O conteúdo envolvido é complemento ortogonal em R^5 e Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.

Passo 2

Para descrever F^{\perp}, usamos a condição x·(1,1,1,1,1)=0 e x·(0,0,0,0,1)=0. Isso dá o sistema de equações:
x1+x2+x3+x4+x5=0, x5=0

Passo 3

Da segunda equação vem x_5=0 e então x_1+x_2+x_3+x_4=0. Logo todo vetor em F^{\perp} é da forma (x_1,x_2,x_3,x_4,0) com soma dos quatro primeiros zero.
Escolhemos então três vetores independentes que satisfazem essas condições:
u1=(1,-1,0,0,0), u2=(0,1,-1,0,0), u3=(0,0,1,-1,0)

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt a (u_1,u_2,u_3) para obter vetores ortogonais e depois normalizamos.
Calculamos primeiro:
e1=u1|u1|=1raiz2(1,-1,0,0,0)

Passo 5

Em seguida projetamos u_2 sobre e_1 e definimos v_2=u_2-\mathrm{proj}_{e_1}(u_2), depois
e2=v2|v2|=l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,0,0r)

Passo 6

Por fim projetamos u_3 sobre e_1 e e_2, definimos v_3=u_3-\mathrm{proj}{e_1}(u_3)-\mathrm{proj}{e_2}(u_3) e normalizamos:
e3=l(tfracraiz36,tfracraiz36,tfracraiz36,-tfracraiz32,0r)

Resposta

Uma base ortonormal de F^{\perp} é
e1=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0,0,0r),
e2=l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,0,0r),
e3=l(tfracraiz36,tfracraiz36,tfracraiz36,-tfracraiz32,0r)

Exercícios relacionados