Encontre A^-1 caso exista. Justifique, caso contrário.
cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 2

Passo 1

Temos a matriz
A=2 & 0 & 1 & 00 & 0 & -3 & 00 & 1 & 0 & 11 & 0 & 0 & 2
Queremos encontrar o inverso de A, ou justificar se não existir. Vamos usar dois pontos da teoria: primeiro checar invertibilidade via determinante e depois aplicar eliminação de Gauss–Jordan na forma aumentada.

Passo 2

Para testar se A é invertível, calculamos det(A). Usando expansão pela segunda linha temos
det(A)=(-3)(-1)^2+3det2&0&00&1&11&0&2=3cdotdet2&0&00&1&11&0&2
Em seguida
det2&0&00&1&11&0&2=2l(1cdot2-1cdot0r)=4,
logo det(A)=3cdot4=12neq0. Assim A é invertível.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada (Amid I) e trocamos as linhas 1 e 4 para ter pivô 1 em (1,1). Após R1rightarrow R4 obtemos
[cccc|cccc 1&0&0&2&0&0&0&1 0&0&-3&0&0&1&0&0 0&1&0&1&0&0&1&0 2&0&1&0&1&0&0&0 ]

Passo 4

No primeiro pivô (posição (1,1)), eliminamos o elemento em (4,1) com
R4>=ts R4-2R1. A nova linha 4 fica
R4=[2,0,1,0]-2[1,0,0,2]=[0,0,1,-4]mid[1,0,0,0]-2[0,0,0,1]=[1,tfrac13,0,-2]

Passo 5

Para ter pivô em (2,2), trocamos R2rightarrow R3. Como R2 já não influencia outras linhas em coluna 2 (todas são zero), seguimos para o terceiro pivô.

Passo 6

No pivô (3,3), normalizamos R3 dividindo por -3 e depois eliminamos o elemento em (4,3) com R4>=ts R4-R3. Assim
R3>=ts1-3R3=[0,0,1,0]mid[0,-tfrac13,0,0],
R4>=ts R4-R3=[0,0,1,-4]-[0,0,1,0]=[0,0,0,-4]mid[1,tfrac13,0,-2]-[0,-tfrac13,0,0]=[1,tfrac23,0,-2]

Passo 7

No pivô (4,4), normalizamos R4 dividindo por -4 e depois retro-eliminamos nas linhas 1 e 2:
R4>=ts1-4R4=[0,0,0,1]mid[-tfrac14,-tfrac16,0,tfrac12]
Em seguida fazemos
R1>=ts R1-2R4 e R2>=ts R2-R4, obtendo nas linhas 1 e 2 os vetores:
R1=[1,0,0,0]mid[tfrac12,tfrac16,0,0],
R2=[0,1,0,0]mid[tfrac14,tfrac112,1,-tfrac12]

Passo 8

Após essas operações, o lado esquerdo da forma aumentada virou a matriz identidade 4×4. Portanto, o lado direito é exatamente A^-1.

Resposta

tfrac12 & tfrac16 & 0 & 0 tfrac14 & tfrac112 & 1 & -tfrac12 0 & -tfrac13 & 0 & 0 -tfrac14 & -tfrac112 & 0 & tfrac12

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