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caso exista. Justifique, caso contrário.
Passo 1
Temos a matriz
Queremos encontrar o inverso de
A , ou justificar se não existir. Vamos usar dois pontos da teoria: primeiro checar invertibilidade via determinante e depois aplicar eliminação de Gauss–Jordan na forma aumentada.
Passo 2
Para testar se
A é invertível, calculamos
det(A) . Usando expansão pela segunda linha temos
Em seguida
logo
det(A)=3cdot4=12neq0 . Assim
A é invertível.
Passo 3
Montamos a matriz aumentada
(Amid I) e trocamos as linhas 1 e 4 para ter pivô 1 em
(1,1) . Após
R1rightarrow R4 obtemos
Passo 4
No primeiro pivô (posição
(1,1) ), eliminamos o elemento em
(4,1) com
R4>=ts R4-2R1 . A nova linha 4 fica
Passo 5
Para ter pivô em
(2,2) , trocamos
R2rightarrow R3 . Como
R2 já não influencia outras linhas em coluna 2 (todas são zero), seguimos para o terceiro pivô.
Passo 6
No pivô
(3,3) , normalizamos
R3 dividindo por
-3 e depois eliminamos o elemento em
(4,3) com
R4>=ts R4-R3 . Assim
Passo 7
No pivô
(4,4) , normalizamos
R4 dividindo por
-4 e depois retro-eliminamos nas linhas 1 e 2:
Em seguida fazemos
R1>=ts R1-2R4 e
R2>=ts R2-R4 , obtendo nas linhas 1 e 2 os vetores:
Passo 8
Após essas operações, o lado esquerdo da forma aumentada virou a matriz identidade 4×4. Portanto, o lado direito é exatamente
A^-1 .