Determine se os conjuntos dados abaixo são subespaços de : e e
Passo 1
O enunciado define o conjunto
W = { matrizes 2×2 da forma a & b0 & c com a,bin R e c = b^2}, e pergunta se W é subespaço de V = M2times2( R). Para mostrar que um subconjunto é subespaço precisamos verificar três coisas: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro se a matriz zero 0 = 0&00&0 pertence a W. Aqui a=0, b=0 e c = b^2 = 0^2 = 0. Como isso satisfaz as condições de W, a matriz zero está em W.
Passo 3
Agora testamos fechamento sob adição. Sejam X1 = a1&b10&b1^2 e X2 = a2&b20&b2^2 em W. Sua soma é
X1 + X2 = a1+a2 & b1 + b2[4pt]0 & b1^2 + b2^2
Para pertencer a W, precisaríamos ter
b1^2 + b2^2 = (b1 + b2)^2 = b1^2 + 2b1 b2 + b2^2
Isso exigiria 2b1 b2 = 0 para todos b1,b2, o que não é verdade em geral. Por exemplo, se b1 = b2 = 1, a soma de X1 e X2 teria elemento c = 1 + 1 = 2, mas deveria ser (1+1)^2 = 4. Logo, X1 + X2 não está em W, e W não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo sem checar multiplicação por escalar (que até fecha: se kin R,
kX = ka&b0&b^2 = ka & kb0 & k b^2,
e k b^2 = (kb)^2 não garante adição), já vemos que a falha na adição impede W de ser subespaço.
Passo 5
Portanto, concluímos que W não é subespaço de V.
Resposta
W não é subespaço de V, pois falha o fechamento sob soma.