Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :
F=S((1,-1,2,0,1),(0,1,0,0,-1))

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base ortonormal de F^{\perp}, onde F é o subespaço de \mathbb{R}^5 gerado pelos vetores (1,-1,2,0,1) e (0,1,0,0,-1). Vamos usar o conceito de complemento ortogonal (vetores que têm produto interno zero com todos os de F), resolver um sistema linear para encontrar uma base de F^{\perp} e depois ortonormalizar por normalização ou Gram–Schmidt.

Passo 2

Um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) pertence a F^{\perp} se satisfaz as duas condições de ortogonalidade:
(1,-1,2,0,1) cdot (x1,x2,x3,x4,x5)=x1 - x2 +2x3 + x5=0,
(0,1,0,0,-1) cdot (x1,x2,x3,x4,x5)=x2 - x5=0

Passo 3

Da segunda equação vem x_2=x_5. Substituindo na primeira: x_1 - x_5 +2x_3 + x_5=0 \Rightarrow x_1 +2x_3=0 \Rightarrow x_1=-2x_3. Logo a solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5) = x3(-2,0,1,0,0) + x4(0,0,0,1,0) + x5(0,1,0,0,1),

Passo 4

ou seja, uma base para F^{\perp} é dada por b_1=(-2,0,1,0,0), b_2=(0,0,0,1,0) e b_3=(0,1,0,0,1).
Observamos que b_1\cdot b_2=0, b_1\cdot b_3=0 e b_2\cdot b_3=0, então são mutuamente ortogonais. Basta normalizar cada um para obter a base ortonormal:
u1=1raiz5(-2,0,1,0,0), u2=(0,0,0,1,0), u3=1raiz2(0,1,0,0,1)

Resposta

Uma base ortonormal de F^{\perp} é dado pelos vetores
1raiz5(-2,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), 1raiz2(0,1,0,0,1)

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