Para cada um dos subespaços F abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal F^perp de F :
F=S((1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2))

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de F^{\perp}, onde F = span{(1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2)} em \mathbb{R}^5. Vamos precisar resolver as equações de ortogonalidade v_i·x=0 e depois aplicar Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.

Passo 2

Seja x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in F^{\perp}. As condições de ortogonalidade são:
(1);x1 - x2 + x3 - x4 + x5 = 0,
(2);2x2 - x4 + 2x5 = 0

Passo 3

Da segunda equação temos x4 = 2x2 +2x5. Substituindo na primeira obtemos x1 = 3x2 - x3 + x5. Tomando como parâmetros livres s=x2,;t=x3,;u=x5, obtemos a forma geral
x = s,(3,1,0,2,0) + t,(-1,0,1,0,0) + u,(1,0,0,2,1)

Passo 4

Logo uma base de F^{\perp} é
b1=(3,1,0,2,0), b2=(-1,0,1,0,0), b3=(1,0,0,2,1)

Passo 5

Agora aplicamos o processo de Gram–Schmidt:
  1. Normalizamos b1:
e1 = b1|b1| = 1raiz14(3,1,0,2,0)

Passo 6

  1. Projetamos b2 sobre e1 e subtraímos:
b2' = b2 - llang<= b2,e1rrang<= e1, lang<= b2,e1rang<= = -3/raiz14
Escolhendo b2^* = (-5,3,14,6,0) paralelo a b2', sua norma é raiz266, então
e2 = b2^*raiz266 = 1raiz266(-5,3,14,6,0)

Passo 7

  1. Projetamos b3 sobre e1 e e2 e subtraímos:
b3'' = b3 - lang<= b3,e1rang<= e1 - lang<= b3,e2rang<= e2,
obtendo um vetor paralelo a (-49,-77,-49,112,133) com norma raiz40964. Assim
e3 = 1raiz40964(-49,-77,-49,112,133)

Resposta

Uma base ortonormal de F^{\perp} é dadas pelos vetores
e1 = 1raiz14(3,1,0,2,0),
e2 = 1raiz266(-5,3,14,6,0),
e3 = 1raiz40964(-49,-77,-49,112,133)

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