Para cada um dos subespaços
abaixo, determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal
de
:
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de F^{\perp}, onde F = span{(1,-1,1,-1,1),(0,2,0,-1,2)} em \mathbb{R}^5. Vamos precisar resolver as equações de ortogonalidade v_i·x=0 e depois aplicar Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.
Passo 2
Seja x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in F^{\perp}. As condições de ortogonalidade são:
Passo 3
Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira obtemos
. Tomando como parâmetros livres
, obtemos a forma geral
Passo 4
Logo uma base de F^{\perp} é
Passo 5
Agora aplicamos o processo de Gram–Schmidt:
- Normalizamos
:
Passo 6
- Projetamos
sobre e subtraímos:
Escolhendo
Passo 7
- Projetamos
sobre e e subtraímos:
obtendo um vetor paralelo a
Resposta
Uma base ortonormal de F^{\perp} é dadas pelos vetores