Exercício 3 Para cada uma das matrizes abaixo obtenha uma base para o núcleo, uma para o espaço linha e uma para o espaço coluna.
Passo 1
A ideia geral é: para cada matriz A fazemos eliminação de Gauss até chegar à forma escalonada reduzida (RREF). Daí extraímos três bases: 1) Espaço linha: as linhas não-nulas de RREF. 2) Espaço coluna: as colunas da matriz original correspondentes às colunas-pivô em RREF. 3) Núcleo (nullspace): resolvemos A x = 0 em função de parâmetros livres e obtemos vetores geradores.
Passo 2
Para a primeira matriz
Fazendo R_2\to R_2-2R_1 e em seguida limpar R_1 temos a RREF:
Pivôs em colunas 1 e 2.
Passo 3
Espaço linha de A_1: as linhas não-nulas de RREF são
$$(1,0,-1,1),\quad(0,1,2,-1).
$$
Passo 4
Espaço coluna de A_1: colunas 1 e 2 da matriz original:
$$(1,2)T,;(1,1)T.
$$
Passo 5
Núcleo de A_1: da RREF temos x_1 - x_3 + x_4=0 e x_2+2x_3 - x_4=0. Tomando x_3=s, x_4=t, obtemos
$$x=(s-t,,-2s+t,,s,,t)=s(1,-2,1,0)+t(-1,1,0,1).
$$
Passo 6
Para a segunda matriz
Aplicando R_2\to R_2-2R_1 e R_3\to R_3-4R_1 e depois R_3\to R_3-R_2 chega-se a
Pivôs em colunas 1 e 2.
Passo 7
Espaço linha de A_2:
$$(1,3,2),;(0,1,0).
$$
Passo 8
Espaço coluna de A_2: colunas 1 e 2 originais
$$(1,2,4)T,;(3,1,7)T.
$$
Passo 9
Núcleo de A_2: das equações x_1+3x_2+2x_3=0 e -5x_2=0 vem x_2=0, x_1=-2x_3. Tomando x_3=t,
$$x=t(-2,0,1).
$$
Passo 10
Para a terceira matriz
Trocando R_1\leftrightarrow R_2 e fazendo eliminações chega-se à RREF
Pivôs nas colunas 1, 2 e 3.
Passo 11
Espaço linha de A_3:
$$(1,2,-1,-2),;(0,7,0,-2),;(0,0,1,0).
$$
Passo 12
Espaço coluna de A_3: colunas 1,2,3 originais
$$(-3,1,-3)T,;(1,2,8)T,;(3,-1,4)^T.
$$
Passo 13
Núcleo de A_3: de x_3=0, 7x_2-2x_4=0 e x_1+2x_2-2x_4=0 obtemos x_2=2/7 x_4, x_1=10/7 x_4. Tomando x_4=t e multiplicando por 7,
$$x=t(10,2,0,7).
$$
Passo 14
Para a quarta matriz
Fazendo R_2\to R_2-2R_1 e R_3\to R_3+(4/5)R_2 e limpando obtemos a RREF
Pivôs em colunas 1,2,3.
Passo 15
Espaço linha de A_4:
$$(1,0,0,-13/53),;(0,1,0,42/53),;(0,0,1,30/53).
$$
Passo 16
Espaço coluna de A_4: colunas 1,2,3 originais
$$(1,2,0)T,;(3,1,4)T,😭-2,3,5)^T.
$$
Passo 17
Núcleo de A_4: de x_1=-13/53 x_4, x_2=42/53 x_4, x_3=30/53 x_4 e tomando x_4=t e multiplicando por 53,
$$x=t(13,-42,-30,53).
$$
Passo 18
Para a quinta matriz
Fazendo R_3\to R_3-2R_2, R_4\to R_4-3R_2 ficamos com apenas duas linhas-pivô:
Pivôs em colunas 1 e 3.
Passo 19
Espaço linha de A_5:
$$(1,3,1,3,4),;(0,0,1,1,1).
$$
Passo 20
Espaço coluna de A_5: colunas 1 e 3 originais
$$(1,0,0,0)T,;(1,1,2,3)T.
$$
Passo 21
Núcleo de A_5: das equações x_1+3x_2+x_3+3x_4+4x_5=0 e x_3+x_4+x_5=0, tomando x_2=s, x_4=t, x_5=u obtemos
$$x=s(-3,1,0,0,0)+t(-2,0,-1,1,0)+u(-3,0,-1,0,1).
$$
Resposta
Bases encontradas:
-
Para A_1:
Núcleo: {(1,-2,1,0),(-1,1,0,1)}
Espaço linha: {(1,0,-1,1),(0,1,2,-1)}
Espaço coluna: {(1,2),(1,1)} -
Para A_2:
Núcleo: {(-2,0,1)}
Espaço linha: {(1,3,2),(0,1,0)}
Espaço coluna: {(1,2,4),(3,1,7)} -
Para A_3:
Núcleo: {(10,2,0,7)}
Espaço linha: {(1,2,-1,-2),(0,7,0,-2),(0,0,1,0)}
Espaço coluna: {(-3,1,-3),(1,2,8),(3,-1,4)} -
Para A_4:
Núcleo: {(13,-42,-30,53)}
Espaço linha: {(1,0,0,-13/53),(0,1,0,42/53),(0,0,1,30/53)}
Espaço coluna: {(1,2,0),(3,1,4),(-2,3,5)} -
Para A_5:
Núcleo: {(-3,1,0,0,0),(-2,0,-1,1,0),(-3,0,-1,0,1)}
Espaço linha: {(1,3,1,3,4),(0,0,1,1,1)}
Espaço coluna: {(1,0,0,0),(1,1,2,3)}