Suponha que alpha e beta são bases ordenadas de R^3 e que
[I]alpha^beta=[rrr 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 ]
Ache
(a) [v]alpha onde r-1 2 3
(b) [v]beta onde r-1 2 3

Passo 1

Temos duas bases ordenadas α e β de ℝ³ e a matriz de mudança de base
[I]α^β=1 & 1 & 00 & -1 & 11 & 0 & -1
Precisamos achar (a) o vetor [v]α dado [v]β=(-1,2,3)^T e (b) o vetor [v]β dado [v]α=(-1,2,3)^T. O conteúdo envolvido é mudança de base e inversão/multiplicação de matrizes.

Passo 2

A matriz [I]α^β=M transforma coordenadas em α em coordenadas em β via
[v]β=M,[v]α
Para obter [v]α a partir de [v]β usamos
[v]α=M^-1,[v]β

Passo 3

Vamos calcular a inversa de
M=1 & 1 & 00 & -1 & 11 & 0 & -1
O determinante é det M=2, logo M é invertível. Calculando a matriz dos cofatores, sua adjunta e dividindo por 2, obtemos
M^-1=tfrac121 & 1 & 11 & -1 & -11 & 1 & -1

Passo 4

Para (a) multiplicamos
[v]α=M^-1,[v]β=tfrac121 & 1 & 11 & -1 & -11 & 1 & -1-123 =tfrac12-1+2+3-1-2-3-1+2-3 =tfrac124-6-2 =2-3-1

Passo 5

Para (b) usamos a definição direta de mudança de base:
[v]β=M,[v]α=1 & 1 & 00 & -1 & 11 & 0 & -1-123 =-1+2+00-2+3-1+0-3 =11-4

Resposta

[v]α=2-3-1, [v]β=11-4

Exercícios relacionados