• Questão 4 : (2 pontos) Sejam V=\mathbb{M}_{2 \times 2} e o subconjunto
A=\left\{\left[\begin{array}{ll} -1 & 2 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
Determine o espaço gerado por A. Após, determine uma base para este subespaço e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o subespaço de V=\mathbb{M}_{2\times2} gerado pelo conjunto
A=\Bigl\{M_1,M_2\Bigr\}
com
M_1=\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ -2 & 3\end{pmatrix},\quad M_2=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é geração de subespaços, base e dimensão em espaços vetoriais.

Passo 2

Para descrever o espaço gerado, escrevemos uma combinação linear genérica de M_1 e M_2. Seja
M=\alpha\,M_1+\beta\,M_2,\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Então
M =\alpha\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ -2 & 3\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\alpha+3\beta & 2\alpha-\beta\\\\ -2\alpha+\beta & 3\alpha+\beta \end{pmatrix}.
Logo
\mathrm{Span}(A) =\bigl\{\alpha\,M_1+\beta\,M_2\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 3

Para ver se M_1\) e \(M_2\) são linearmente independentes, impomos \[\alpha\,M_1+\beta\,M_2=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
o que gera o sistema
\begin{cases} -\alpha+3\beta=0,\\\\ 2\alpha-\beta=0,\\\\ -2\alpha+\beta=0,\\\\ 3\alpha+\beta=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem \beta=2\alpha\]. Substituindo na primeira: \(-\alpha+3(2\alpha)=5\alpha=0, logo \alpha=0 e \beta=0. Isso mostra independência.

Passo 4

Como M_1 e M_2 são independentes e geram \mathrm{Span}(A), o conjunto \{M_1,M_2\} é uma base de \mathrm{Span}(A). O número de vetores dessa base é 2, portanto
\dim\bigl(\mathrm{Span}(A)\bigr)=2.

Resposta

O espaço gerado é
\mathrm{Span}(A)=\bigl\{\alpha\,M_1+\beta\,M_2\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\bigr\}.
Uma base é
\Bigl\{\,\begin{pmatrix}-1 & 2\\\ -2 & 3\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\Bigr\}
e a dimensão vale 2.

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