Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
\int \operatorname{sinh} (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sinh}(3x)\,dx
Aqui o conteúdo é integração de função hiperbólica. Sabemos que a derivada de \operatorname{cosh}(u) é \operatorname{sinh}(u), então podemos usar substituição ou reconhecer que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{cosh}(3x)\bigr]=3\,\operatorname{sinh}(3x).

Passo 2

Fazendo a substituição u=3x, temos
du=3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{sinh}(3x)\,dx =\int \operatorname{sinh}(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int \operatorname{sinh}(u)\,du.
E sabemos que
\int \operatorname{sinh}(u)\,du=\operatorname{cosh}(u)+C.

Passo 3

Voltando à variável x, obtemos
\int \operatorname{sinh}(3x)\,dx =\frac{1}{3}\operatorname{cosh}(u)+C =\frac{1}{3}\operatorname{cosh}(3x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{cosh}(3x)+C

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