Encontre uma base para o espaço vetorial
das matrizes reais
. Qual a dimensão desse espaço?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes reais
, e em seguida determinar a dimensão desse espaço. Vamos usar o conceito de base como um conjunto de vetores (aqui matrizes) que gera todo o espaço e é linearmente independente.
Passo 2
Proponho a base canônica dada pelas quatro matrizes que têm um único elemento igual a
e os demais iguais a
. Denotando-as por
, com
, temos:
Para ver que essas matrizes geram
, observe uma matriz genérica
Podemos escrever
logo qualquer elemento de
é combinação linear de
.]
Passo 3
Resta verificar que essa família é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
O lado esquerdo é a matriz
que só é nula se
. Portanto, não há combinação linear não trivial que dê a matriz zero, e as
matrizes são independentes.]
Passo 4
Como encontramos
matrizes que formam uma base, a dimensão de
é justamente o número de elementos dessa base, ou seja,
.
Resposta
Uma base de
é
onde
e a dimensão desse espaço é
.