Encontre uma base para o espaço vetorial M2 times 2 das matrizes reais 2 times 2. Qual a dimensão desse espaço?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço vetorial M2times2, que é o conjunto de todas as matrizes reais 2times2, e em seguida determinar a dimensão desse espaço. Vamos usar o conceito de base como um conjunto de vetores (aqui matrizes) que gera todo o espaço e é linearmente independente.

Passo 2

Proponho a base canônica dada pelas quatro matrizes que têm um único elemento igual a 1 e os demais iguais a 0. Denotando-as por Eij, com i,jin1,2, temos:
E11 = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, E12 = 0 & 1 [6pt] 0 & 0, E21 = 0 & 0 [6pt] 1 & 0, E22 = 0 & 0 [6pt] 0 & 1
Para ver que essas matrizes geram M2times2, observe uma matriz genérica
A = a & b [4pt] c & d
Podemos escrever
A = a,E11 + b,E12 + c,E21 + d,E22,
logo qualquer elemento de M2times2 é combinação linear de E11,E12,E21,E22.]

Passo 3

Resta verificar que essa família é linearmente independente. Suponha que existam escalares alpha11,alpha12,alpha21,alpha22 tais que
alpha11E11 + alpha12E12 + alpha21E21 + alpha22E22 = 0 & 0 [4pt] 0 & 0
O lado esquerdo é a matriz
alpha11 & alpha12 [4pt] alpha21 & alpha22 ,
que só é nula se alpha11=alpha12=alpha21=alpha22=0. Portanto, não há combinação linear não trivial que dê a matriz zero, e as 4 matrizes são independentes.]

Passo 4

Como encontramos 4 matrizes que formam uma base, a dimensão de M2times2 é justamente o número de elementos dessa base, ou seja, 4.

Resposta

Uma base de M2times 2 é
lE11,E12,E21,E22r,
onde
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1,
e a dimensão desse espaço é 4.

Exercícios relacionados