Encontre os autovalores, autovetores e auto-espaços e diga quais as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor:
do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por T(x, y)=(x+y, 2 y).

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores, autovetores e auto-espaços do operador linear
\;T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
T(x,y) = (x+y,\;2y).
O que precisamos usar é a representação matricial de T na base canônica, o cálculo do polinômio característico e a resolução dos sistemas (M-\lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, temos
T(1,0) = (1,0),\quad T(0,1) = (1,2),
logo a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = \det\bigl(M - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\\\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(2-\lambda).
Daí os autovalores são
\lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2, cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 3

Vamos achar o auto-espaço de \lambda_{1}=1 resolvendo
(M - I)v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A única equação não trivial é y=0, e x fica livre. Logo os vetores próprios são da forma (x,0), e podemos escolher como gerador
\;(1,0).
Assim o auto-espaço de \lambda_{1} é
E_{1} = \bigl\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} = \mathrm{span}\{(1,0)\},
com multiplicidade geométrica igual a 1 (um gerador).

Passo 4

Para \lambda_{2}=2 resolvemos
(M - 2I)v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
que dá a única condição -x + y = 0, isto é, y = x. Assim os vetores próprios são da forma (x,x), e podemos tomar (1,1) como gerador.
O auto-espaço de \lambda_{2} é
E_{2} = \bigl\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} = \mathrm{span}\{(1,1)\},
com multiplicidade geométrica igual a 1.

Resposta

Autovalores e suas multiplicidades algébrica e geométrica:
(a) \lambda_{1}=1, mult. algébrica =1, mult. geométrica =1.
Auto-espaço E_{1} = \mathrm{span}\{(1,0)\}.
(b) \lambda_{2}=2, mult. algébrica =1, mult. geométrica =1.
Auto-espaço E_{2} = \mathrm{span}\{(1,1)\}.

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