Encontre os autovalores, autovetores e auto-espaços e diga quais as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor:
do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por T(x, y)=(x+y, 2 y).
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores, autovetores e auto-espaços do operador linear \;T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
T(x,y) = (x+y,\;2y).
O que precisamos usar é a representação matricial de T na base canônica, o cálculo do polinômio característico e a resolução dos sistemas (M-\lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda.
Passo 2
Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, temos
T(1,0) = (1,0),\quad T(0,1) = (1,2),
logo a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
A única equação não trivial é y=0, e x fica livre. Logo os vetores próprios são da forma (x,0), e podemos escolher como gerador \;(1,0).
Assim o auto-espaço de \lambda_{1} é
que dá a única condição -x + y = 0, isto é, y = x. Assim os vetores próprios são da forma (x,x), e podemos tomar (1,1) como gerador.
O auto-espaço de \lambda_{2} é