Para cada transformação abaixo, verifique se é linear e, caso seja, encontre seu núcleo e sua imagem.
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R} dada por T(x, y, z, w)=x+2 y-3 w+z-2

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação
T\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R} \quad\text{definida por}\quad T(x,y,z,w)=x+2y+z-3w-2
e pede para verificar se T é linear. Caso seja, devemos achar \ker(T) e \operatorname{Im}(T).

Passo 2

Para testar linearidade, basta ver se T preserva soma e escalares e, em particular, checar se T(0,0,0,0)=0. Calculamos
T(0,0,0,0)=0+2\cdot0+0-3\cdot0-2=-2\neq0.
Logo T não leva o vetor zero em zero, o que já quebra a condição necessária para ser uma transformação linear.

Resposta

T não é linear, portanto não faz sentido falar em núcleo ou imagem de T como espaço vetorial.

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