Encontre os autovalores, autovetores e auto-espaços e diga quais as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor:
da matriz \left(\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores, autovetores e auto-espaços da matriz
e determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico, achar suas raízes (autovalores) e, para cada uma, resolver (A-\lambda I)x=0.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Temos
e a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, embora sua multiplicidade algébrica seja 2.
Resposta
Autovalores e suas multiplicidades:
\lambda=-3: multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autovetores (x,0,0), isto é \span\{(1,0,0)\}. \lambda=2: multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1; autovetores (x,0,5x), isto é \span\{(1,0,5)\}.