Encontre os autovalores, autovetores e auto-espaços e diga quais as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor:
da matriz \left(\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores, autovetores e auto-espaços da matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos calcular o polinômio característico, achar suas raízes (autovalores) e, para cada uma, resolver (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Temos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -3-\lambda & 1 & 1 \\\\ 0 & 2-\lambda & 0 \\\\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}
e, por expansão pela primeira coluna,
\det(A-\lambda I) = (-3-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\\ 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (-3-\lambda)(2-\lambda)^2.

Passo 3

As raízes do polinômio são \lambda=-3 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Para \lambda=-3 resolvemos (A+3I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessas equações obtemos y=0 e z=0, com x livre. Logo o auto-espaço é
E_{-3} = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \span\{(1,0,0)\},
e a multiplicidade geométrica de \lambda=-3 é 1.

Passo 5

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} -5 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da terceira linha vem y=0. Substituindo na primeira, obtemos -5x+z=0, isto é z=5x. Com x livre, o auto-espaço é
E_{2} = \{(x,0,5x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \span\{(1,0,5)\},
e a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, embora sua multiplicidade algébrica seja 2.

Resposta

Autovalores e suas multiplicidades:
\lambda=-3: multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1; autovetores (x,0,0), isto é \span\{(1,0,0)\}.
\lambda=2: multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1; autovetores (x,0,5x), isto é \span\{(1,0,5)\}.

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