Para cada transformação linear a seguir, determine seus autovalores e os autoespaços associados. Em seguida, decida se a transformação é ou não diagonalizável. Em caso positivo, encontre uma base B com relação a qual a matriz [T]B seja diagonal e determine tal matriz.
T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(2 x, y).

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: a transformação linear
T: R^2 to R^2 dada por
T(x,y) = (2x,,y)
O conteúdo é autovalores, autovetores (autoespaços) e diagonalização de matrizes.
Pra resolver, a gente vai:
  1. escrever a matriz de T na base canônica;
  2. achar o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores;
  3. para cada lambda, resolver (A - lambda I)v=0 e achar o autoespaço;
  4. ver se a gente tem 2 vetores independentes (aí é diagonalizável) e montar a base que diagonaliza;
  5. escrever a matriz diagonal.

Passo 2

Matriz de T na base padrão e1=(1,0), e2=(0,1) é
A = 2 & 0 0 & 1
Polinômio característico:
det(A - lambda I) = det2-lambda & 0 [6pt] 0 & 1-lambda = (2-lambda)(1-lambda)
Igualando a zero, os autovalores são
lambda1 = 2 e lambda2 = 1.]

Passo 3

Autoespaço para :
Resolvemos , ou seja
Isso dá as equações
Logo os vetores são . O autoespaço é

Passo 4

Autoespaço para :
Então os vetores são . O autoespaço é

Passo 5

Como temos dois autovalores distintos e cada um produz um autoespaço de dimensão 1, a soma das dimensões é 2, que é a dimensão de R^2. Ou seja, temos 2 vetores linearmente independentes de autovalores diferentes.
Logo T é diagonalizável e uma base de autovetores é
B = l(1,0),;(0,1)r

Passo 6

Na base B acima, a matriz de T fica diagonal, com entradas iguais aos autovalores na ordem dos vetores da base:
[T]B = 2 & 0 0 & 1

Resposta

Autovalores: lambda1=2, lambda2=1.
Autoespaço E2 = span(1,0), E1 = span(0,1).
T é diagonalizável.
Base de autovetores B=(1,0),(0,1).
Matriz diagonal [T]B=2&00&1

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