Para cada transformação linear a seguir, determine seus autovalores e os autoespaços associados. Em seguida, decida se a transformação é ou não diagonalizável. Em caso positivo, encontre uma base com relação a qual a matriz seja diagonal e determine tal matriz. dada por .
Passo 1
Beleza, olha só o que temos: a transformação linear dada por
O conteúdo é autovalores, autovetores (autoespaços) e diagonalização de matrizes.
Pra resolver, a gente vai:
escrever a matriz de na base canônica;
achar o polinômio característico para achar os autovalores;
para cada , resolver e achar o autoespaço;
ver se a gente tem 2 vetores independentes (aí é diagonalizável) e montar a base que diagonaliza;
Igualando a zero, os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = 1.]
Passo 3
Autoespaço para :
Resolvemos , ou seja
Isso dá as equações
Logo os vetores são . O autoespaço é
Passo 4
Autoespaço para :
Dá
Então os vetores são . O autoespaço é
Passo 5
Como temos dois autovalores distintos e cada um produz um autoespaço de dimensão 1, a soma das dimensões é 2, que é a dimensão de R^2. Ou seja, temos 2 vetores linearmente independentes de autovalores diferentes.
Logo T é diagonalizável e uma base de autovetores é
B = l(1,0),;(0,1)r
Passo 6
Na base B acima, a matriz de T fica diagonal, com entradas iguais aos autovalores na ordem dos vetores da base:
[T]B = 2 & 0 0 & 1
Resposta
Autovalores: lambda1=2, lambda2=1.
Autoespaço E2 = span(1,0), E1 = span(0,1). T é diagonalizável.
Base de autovetores B=(1,0),(0,1).
Matriz diagonal [T]B=2&00&1