Seja o subespaço S de M(2,2) :
S=[lla & b c & d] / c=a+b e d=a
a) Qual a dimensão de S ?
b) O conjunto
[cc1 & -1 0 & 1],[ll2 & 1 3 & 4]

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = la & b c & din M(2,2)mid c = a + b,;d = ar
Queremos (a) a dimensão de S e (b) analisar o conjunto
gl1 & -10 & 1,;2 & 13 & 4gr em relação a S.

Passo 2

Para descrever genericamente um elemento de S usemos como parâmetros a e b. Então
c = a+b, d = a,
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a & b c & d = a & b a+b & a = a1 & 01 & 1 + b0 & 11 & 0

Passo 3

Dessa forma vemos que todo elemento de S é combinação linear de dois vetores-matriz independentes
E1 = 1 & 01 & 1 e
E2 = 0 & 11 & 0.
Logo E1,E2 é uma base de S e
dim(S) = 2

Passo 4

Agora verificamos se as matrizes
M1 = 1 & -10 & 1 e
M2 = 2 & 13 & 4 estão em S.
Para M1, a=1, b=-1 c=a+b=0 e d=a=1, que conferem, logo M1in S.
Para M2, a=2, b=1 daria c=3 (ok) mas d deveria ser 2, não 4; portanto M2notin S.

Passo 5

Como M2notin S, o conjunto dado não está inteiramente contido em S e, em particular, não pode ser uma base de S.

Resposta

(a) dim(S)=2
(b) O conjunto não é base de S, pois 2 & 13 & 4notin S.

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