Encontre a transformação linear que tem autovalores -1 e 2 e autoespaços associados e .
Passo 1
O enunciado pede para achar uma transformação linear
que tenha os autovalores e , com
e .
Isso é matéria de espaços de autovetores, autovalores e mudança de base.
Para resolver, vamos:
usar o fato de que em cada autoespaço ,
expressar um polinômio genérico na base de autovetores,
aplicar ali e voltar para a base canônica .
Passo 2
Lembra o que é autoespaço?
Para um autovalor , o autoespaço é .
Aqui eles já deram as bases:
Se , então .
Se , então .
Ou seja:
Passo 3
Vamos pegar um polinômio genérico
e escrevê-lo na base de autovetores .
Isso significa achar tais que