Encontre a transformação linear F: P2(R) P2(R) que tem autovalores -1 e 2 e autoespaços associados Aut(-1)=[1-t, t^2] e Aut(2)=[t-t^2].

Passo 1

O enunciado pede para achar uma transformação linear
Fcolon P2(R)to P2(R)
que tenha os autovalores -1 e 2, com
Aut(-1)=lang<=,1-t,;t^2rang<=
e
Aut(2)=lang<=,t-t^2rang<=.
Isso é matéria de espaços de autovetores, autovalores e mudança de base.
Para resolver, vamos:
  1. usar o fato de que em cada autoespaço F(v)=lambda v,
  2. expressar um polinômio genérico na base de autovetores,
  3. aplicar F ali e voltar para a base canônica 1,t,t^2.

Passo 2

Lembra o que é autoespaço?
Para um autovalor lambda, o autoespaço é
,vneq0: F(v)=lambda v.
Aqui eles já deram as bases:
  • Se vin1-t,;t^2, então F(v)=-1cdot v.
  • Se v=t-t^2, então F(v)=2cdot v.
Ou seja:
F(1-t)=-1,(1-t), F(t^2)=-1,t^2, F(t-t^2)=2,(t-t^2)

Passo 3

Vamos pegar um polinômio genérico
p(t)=alpha + beta,t + gamma,t^2
e escrevê-lo na base de autovetores
,1-t,;t^2,;t-t^2.
Isso significa achar x1,x2,x3 tais que
p(t) = x1(1-t) + x2,t^2 + x3(t-t^2)
Desenvolvendo a soma:
x1(1-t)+x2t^2+x3(t-t^2) = x1 +(-x1+x3)t + (x2-x3)t^2
Comparando com alpha+beta t+gamma t^2, obtemos o sistema
x1 = alpha, -x1 + x3 = beta ;Rightarrow; x3 = beta + alpha, x2 - x3 = gamma ;Rightarrow; x2 = gamma + x3 = gamma + beta + alpha

Passo 4

Agora aplicamos F a essa combinação:
F(p) = x1,F(1-t) + x2,F(t^2) + x3,F(t-t^2) = x1(-1)(1-t) + x2(-1)t^2 + x3(2)(t-t^2)
Definindo
y1=-x1, y2=-x2, y3=2x3,
ficamos com
F(p)=y1(1-t)+y2,t^2+y3(t-t^2)

Passo 5

Para voltar à base 1,t,t^2, desenvolvemos
F(p)(t) = y1 - y1t + y2t^2 + y3t - y3t^2 = y1 +(-y1+y3),t + (y2-y3),t^2
Substituindo
y1 = -alpha, y2 = -(alpha+beta+gamma), y3 = 2(beta+alpha),
vem
F(p)(t) = -alpha + l(-(-alpha)+2(beta+alpha)r),t + l(-(alpha+beta+gamma)-2(beta+alpha)r),t^2
;;=;-,alpha + (3alpha+2beta),t + (-3alpha-3beta-gamma),t^2

Resposta

A transformação F é dada por
boxed Fl(alpha + beta t + gamma t^2r) = -alpha ;+; (3alpha+2beta),t ;+; (-3alpha-3beta-gamma),t^2
Em forma de matriz na base 1,t,t^2,
[F]1,t,t^2 = -1 & 0 & 0 3 & 2 & 0 -3 & -3&-1

Exercícios relacionados