Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os determinantes de várias matrizes de diferentes tamanhos. Determinantes são números que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que têm várias aplicações, como na resolução de sistemas de equações ou na verificação se uma matriz é inversível. Para resolver, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes 2x2, 3x3, 4x4 e também entender um pouco sobre matrizes triangulares e propriedades dos determinantes.
Passo 2
a) Matriz A 2x2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 4 & 8 3 & -14
Para uma matriz 2x2, o determinante é fácil de calcular. A fórmula é:
det(A) = ad - bc
Onde a, b, c, d são os elementos da matriz:
a = 4, b = 8, c = 3, d = -14
Então,
det(A) = (4) (-14) - (8)(3) = -1 - 24 = -25
Passo 3
b) Matriz B 3x3
Agora, vamos para a matriz B :
B = 1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a Regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a Regra de Sarrus aqui.
A Regra de Sarrus consiste em replicar as duas primeiras colunas da matriz ao lado dela e somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias.
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, é mais eficiente usar a expansão por cofatores ou reduzir a matriz para uma forma triangular. Vou optar por reduzir a matriz para triangular superior, já que há zeros na primeira coluna abaixo do primeiro elemento.
Passo 1: A primeira coluna já tem zeros abaixo de 2, então mantemos a matriz.
Note que essa é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então,
det(E) = (x+5)(x+3)(x-3)(x+2)
Passo 7
f) Matriz F 3x3
(Note que o usuário duplicou a letra “e”, então vamos considerar esta como letra “f”)
F = 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 & 16
Vamos calcular o determinante usando a Regra de Sarrus.