Calcule os determinantes das seguintes matrizes.
a) A=(cc4 & 8 3 & -14)
b) B=(ccc1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7)
c) C=(cccraiz22 & -1 & 3 raiz32 & 0 & 7 4 & -2 & 6)
d) D=(cccc2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1)
e) E=(ccccx+5 & 2 & 1 & -1 0 & x+3 & 4 & -2 0 & 0 & x-3 & 4 0 & 0 & 0 & x+2)
f) E=(ccc1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 & 16)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os determinantes de várias matrizes de diferentes tamanhos. Determinantes são números que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que têm várias aplicações, como na resolução de sistemas de equações ou na verificação se uma matriz é inversível. Para resolver, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes 2x2, 3x3, 4x4 e também entender um pouco sobre matrizes triangulares e propriedades dos determinantes.

Passo 2

a) Matriz A 2x2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A :
A = 4 & 8 3 & -14
Para uma matriz 2x2, o determinante é fácil de calcular. A fórmula é:
det(A) = ad - bc
Onde a, b, c, d são os elementos da matriz:
a = 4, b = 8, c = 3, d = -14
Então,
det(A) = (4) (-14) - (8)(3) = -1 - 24 = -25

Passo 3

b) Matriz B 3x3
Agora, vamos para a matriz B :
B = 1 & -1 & 3 0 & 2 & 5 3 & 4 & 7
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a Regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a Regra de Sarrus aqui.
A Regra de Sarrus consiste em replicar as duas primeiras colunas da matriz ao lado dela e somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias.
ccc|cc 1 & -1 & 3 & 1 & -1 0 & 2 & 5 & 0 & 2 3 & 4 & 7 & 3 & 4
Calculando as diagonais principais:
1 times 2 times 7 = 14 -1 times 5 times 3 = -15 3 times 0 times 4 = 0
Somando esses valores: 14 + (-15) + 0 = -1
Calculando as diagonais secundárias:
3 times 2 times 3 = 18 -1 times 5 times 3 = -15 1 times 0 times 7 = 0
Somando esses valores: 18 + (-15) + 0 = 3
Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
det(B) = -1 - 3 = -4

Passo 4

c) Matriz C 3x3
Vamos calcular o determinante da matriz C :
C = raiz22 & -1 & 3 raiz32 & 0 & 7 4 & -2 & 6
Novamente, usaremos a Regra de Sarrus.
Primeiro, replicamos as duas primeiras colunas:
ccc|cc raiz22 & -1 & 3 & raiz22 & -1 raiz32 & 0 & 7 & raiz32 & 0 4 & -2 & 6 & 4 & -2
Calculando as diagonais principais:
raiz22 times 0 times 6 = 0 -1 times 7 times 4 = -28 3 times raiz32 times (-2) = -3raiz3
Somando esses valores: 0 + (-28) + (-3raiz3) = -28 - 3raiz3
Calculando as diagonais secundárias:
3 times 0 times 4 = 0 -1 times 7 times 4 = -28 raiz22 times raiz32 times (-2) = -raiz62
Somando esses valores: 0 + (-28) + (-raiz62) = -28 - raiz62
Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
det(C) = (-28 - 3raiz3) - (-28 - raiz62) = -3raiz3 + raiz62

Passo 5

d) Matriz D 4x4
Agora, vamos para a matriz D :
D = 2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, é mais eficiente usar a expansão por cofatores ou reduzir a matriz para uma forma triangular. Vou optar por reduzir a matriz para triangular superior, já que há zeros na primeira coluna abaixo do primeiro elemento.
Passo 1: A primeira coluna já tem zeros abaixo de 2, então mantemos a matriz.
2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1
Passo 2: Vamos trocar a segunda e terceira linhas para trazer um elemento não zero para a posição a2,2 .
2 & 5 & 7 & -1 0 & 3 & -3 & 4 0 & 0 & 2 & -2 0 & 1 & 2 & 1
Passo 3: Agora, eliminamos o elemento a4,2 usando a linha 2.
Multiplicamos a linha 2 por 13 e subtraímos da linha 4:
L4 = L4 - (13)L2
0 - 0 = 0, 1 - 1 = 0, 2 - (-1) = 3, 1 - 43 = -13
Matriz atualizada:
2 & 5 & 7 & -1 0 & 3 & -3 & 4 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 3 & -13
Passo 4: Eliminamos o elemento a4,3 usando a linha 3.
Multiplicamos a linha 3 por 32 e subtraímos da linha 4:
L4 = L4 - (32)L3
0 - 0 = 0, 0 - 0 = 0, 3 - 3 = 0, -13 - (-3) = 83
Matriz triangular superior:
2 & 5 & 7 & -1 0 & 3 & -3 & 4 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 83
Passo 5: O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(D) = 2 times 3 times 2 times 83 = 2 times 3 = 6, 6 times 2 = 12, 12 times 83 = 32

Passo 6

e) Matriz E 4x4 com variáveis
Vamos calcular o determinante da matriz E :
E = x+5 & 2 & 1 & -1 0 & x+3 & 4 & -2 0 & 0 & x-3 & 4 0 & 0 & 0 & x+2
Note que essa é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então,
det(E) = (x+5)(x+3)(x-3)(x+2)

Passo 7

f) Matriz F 3x3
(Note que o usuário duplicou a letra “e”, então vamos considerar esta como letra “f”)
F = 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 1 & 4 & 16
Vamos calcular o determinante usando a Regra de Sarrus.
Primeiro, replicamos as duas primeiras colunas:
ccc|cc 1 & 2 & 4 & 1 & 2 1 & 3 & 9 & 1 & 3 1 & 4 & 16 & 1 & 4
Calculando as diagonais principais:
1 times 3 times 16 = 48 2 times 9 times 1 = 18 4 times 1 times 4 = 16
Somando esses valores: 48 + 18 + 16 = 82
Calculando as diagonais secundárias:
4 times 3 times 1 = 12 2 times 9 times 1 = 18 1 times 1 times 16 = 16
Somando esses valores: 12 + 18 + 16 = 46
Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
det(F) = 82 - 46 = 36

Resposta

Os determinantes das matrizes são:
a) det(A) = -25
b) det(B) = -4
c) det(C) = -28 - 3raiz3 + raiz62
d) det(D) = 32
e) det(E) = (x+5)(x+3)(x-3)(x+2)
f) det(F) = 36

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