Para cada transformação linear a seguir, determine seus autovalores e os autoespaços associados. Em seguida, decida se a transformação é ou não diagonalizável. Em caso positivo, encontre uma base B com relação a qual a matriz [T]B seja diagonal e determine tal matriz.
T: P2(R) P2(R) dada por T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente analisar a transformação linear
T: P2(R)to P2(R) definida por
Tl(a x^2+b x+cr)=a x^2+c x+b
O conteúdo é autovalores, autoespaços e diagonalização.
Pra resolver a gente vai precisar
  1. escrever a matriz de T na base canônica x^2,x,1,
  2. achar o polinômio característico e os autovalores,
  3. achar os autoespaços resolvendo (T-lambda I)v=0,
  4. checar se a soma das dimensões dá 3 (então é diagonalizável) e
  5. montar a base de autovetores e a matriz diagonal.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T em C=x^2,x,1.
T(x^2)=x^2 → coordenadas (1,0,0).
T(x)=T(0cdot x^2+1cdot x+0)=0cdot x^2+0cdot x+1=1 (0,0,1).
T(1)=T(0+0cdot x+1)=0cdot x^2+1cdot x+0=x (0,1,0).
Logo
[T]C = 1&0&0 0&0&1 0&1&0

Passo 3

Calcular o polinômio característico:
detl([T]C-lambda Ir) =(1-lambda)det!-lambda&11&-lambda =(1-lambda)(lambda^2-1) =(1-lambda)^2(lambda+1)
Portanto os autovalores são
lambda=1 (mult.\ alg. 2) e lambda=-1 (mult.\ alg. 1).

Passo 4

Autoespaços:
  1. Para , resolvemos .
    • Na coordenada de : livre.
    • No bloco :

      e .
      Logo corresponde a .
      Base de : .
  2. Para , resolvemos .
    • Em : .
    • No bloco :

      .
      Logo .
      Base de : .

Passo 5

A soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3=dim P2, então T é diagonalizável.
Basta pegar como base de autovetores
B=,x^2,;x+1,;x-1,
onde os dois primeiros vetores são de lambda=1 e o último de lambda=-1.
Na base B, a matriz de T é
[T]B=diag(1,1,-1)

Resposta

Autovalores e autoespaços:
  • lambda=1, E1=spanx^2,;x+1 (dimensão 2).
  • lambda=-1, E-1=spanx-1 (dimensão 1).
T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
B=x^2,;x+1,;x-1
e
[T]B= 1&0&0 0&1&0 0&0&-1

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