Para cada transformação linear a seguir, determine seus autovalores e os autoespaços associados. Em seguida, decida se a transformação é ou não diagonalizável. Em caso positivo, encontre uma base B com relação a qual a matriz [T]B seja diagonal e determine tal matriz.
T: M2(R) M2(R) dada por T(X)=X^t.

Passo 1

E aí, beleza? O exercício pede pra gente estudar a transformação linear
T: M2(R)longrightarrow M2(R), T(X)=X^t
ou seja, a operação de transpor matrizes 2×2. Precisamos achar:
  1. os autovalores (λ) e os autoespaços (todos os X≠0 tais que T(X)=λX);
  2. dizer se T é diagonalizável;
  3. se for, dar uma base de autovetores e escrever a matriz diagonal de T nessa base.
    Conteúdo: autovalores, autovetores e diagonalização de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, os autovalores λ vêm da equação
T(X)=lambda XLong<=ftrightarrow X^t=lambda X
Uma dica esperta é notar que aplicar T duas vezes dá
T^2(X)=(X^t)^t=X,,
logo T^2=id. Se Xneq0 é autovetor com autovalor λ, então
T^2(X)=lambda^2X = XRightarrowlambda^2=1Rightarrowlambda=1;ou;lambda=-1

Passo 3

Agora vamos achar os autoespaços:
  1. Para λ=1:
X^t=X
significa que X é simétrica. A forma geral é
X=a & b b & d, a,b,dinR,
que é um espaço de dimensão 3. Uma base de autovetores (matrizes simétricas) é
E11=1&00&0, E22=0&00&1, E12+E21=0&11&0
  1. Para λ=–1:
X^t=-X
diz que X é antissimétrica. A forma geral é
X=0 & c -c &0,;cinR,
dimensão 1. Um autovetor aqui é
E12-E21=0&1-1&0

Passo 4

Como os autoespaços de λ=1 e λ=–1 têm dimensões 3 e 1, respectivamente, e totalizam 4 (que é a dimensão de M2( R)), temos um conjunto de 4 autovetores independentes. Logo T é diagonalizável.
Basta escolher a base de autovetores
B=l,E11,;E22,;E12+E21,;E12-E21r
Em relação a essa base, a matriz de T é diagonal com entradas correspondendo aos autovalores na mesma ordem:
[T]B = 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&-1

Resposta

Autovalores:
Autoespaço de : matrizes simétricas
, , base .
Autoespaço de : matrizes antissimétricas
, , base .
é diagonalizável. Base de autovetores
.
Matriz diagonal em :
.

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