Para cada transformação linear a seguir, determine seus autovalores e os autoespaços associados. Em seguida, decida se a transformação é ou não diagonalizável. Em caso positivo, encontre uma base com relação a qual a matriz seja diagonal e determine tal matriz. dada por .
Passo 1
E aí, beleza? O exercício pede pra gente estudar a transformação linear
ou seja, a operação de transpor matrizes 2×2. Precisamos achar:
os autovalores (λ) e os autoespaços (todos os X≠0 tais que T(X)=λX);
dizer se T é diagonalizável;
se for, dar uma base de autovetores e escrever a matriz diagonal de T nessa base.
Conteúdo: autovalores, autovetores e diagonalização de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, os autovalores λ vêm da equação
Uma dica esperta é notar que aplicar T duas vezes dá
logo . Se é autovetor com autovalor λ, então
Passo 3
Agora vamos achar os autoespaços:
Para λ=1:
significa que X é simétrica. A forma geral é
que é um espaço de dimensão 3. Uma base de autovetores (matrizes simétricas) é
Para λ=–1:
diz que X é antissimétrica. A forma geral é
dimensão 1. Um autovetor aqui é
E12-E21=0&1-1&0
Passo 4
Como os autoespaços de λ=1 e λ=–1 têm dimensões 3 e 1, respectivamente, e totalizam 4 (que é a dimensão de M2( R)), temos um conjunto de 4 autovetores independentes. Logo T é diagonalizável.
Basta escolher a base de autovetores
B=l,E11,;E22,;E12+E21,;E12-E21r
Em relação a essa base, a matriz de T é diagonal com entradas correspondendo aos autovalores na mesma ordem:
[T]B = 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&-1
Resposta
Autovalores:
Autoespaço de : matrizes simétricas
, , base .
Autoespaço de : matrizes antissimétricas , , base . é diagonalizável. Base de autovetores .
Matriz diagonal em : .