Seja
um espaço vetorial munido de produto interno e sejam
.
(a) Supondo
e
, determine
.
(b) Supondo
e
, determine o ângulo entre
e
.
(a) Supondo
(b) Supondo
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa saber.
Enunciado: em um espaço vetorial com produto interno temos dois vetores e
.
(a) Sabendo que e
, achar
.
(b) Sabendo que ,
e
, achar o ângulo entre
e
.
Enunciado: em um espaço vetorial com produto interno temos dois vetores
(a) Sabendo que
(b) Sabendo que
Conteúdo/teoria que vamos usar:
- A relação entre norma e produto interno:
. - A identidade de expansão:
- A definição de cosseno do ângulo
entre dois vetores:
A partir do próximo passo, começamos a usar isso de verdade.
Passo 2
Resolvendo a parte (a).
- Aplicamos a identidade para
:
- Substituímos os dados:
dá ; e dá .
- Isolando
:
Passo 3
Resolvendo a parte (b).
- Agora usamos a expansão para
:
- Substituindo
(logo ), e , :
- Para achar o ângulo
, usamos
.
Substituindo:
Resposta
(a)
.
(b) O ângulo entre e
é
.
(b) O ângulo entre