Seja V um espaço vetorial munido de produto interno e sejam u, v in V.
(a) Supondo |u|=|v|=1 e |u-v|=2, determine lang<= u, vrang<=.
(b) Supondo |u|=5,|v|=8 e |u+v|=raiz129, determine o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa saber.
Enunciado: em um espaço vetorial com produto interno temos dois vetores u e v.
(a) Sabendo que |u|=|v|=1 e |u-v|=2, achar lang<= u,vrang<=.
(b) Sabendo que |u|=5, |v|=8 e |u+v|=raiz129, achar o ângulo entre u e v.
Conteúdo/teoria que vamos usar:
  • A relação entre norma e produto interno: |x|^2=lang<= x,xrang<=.
  • A identidade de expansão:
|upm v|^2 = lang<= upm v,,upm vrang<= = |u|^2 + |v|^2 pm 2lang<= u,vrang<=
  • A definição de cosseno do ângulo theta entre dois vetores:
costheta = lang<= u,vrang<=|u|;|v|
A partir do próximo passo, começamos a usar isso de verdade.

Passo 2

Resolvendo a parte (a).
  1. Aplicamos a identidade para |u-v|^2:
|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2lang<= u,vrang<=
  1. Substituímos os dados: |u-v|=2 2^2=4; e |u|=|v|=1 1^2+1^2=2.
4 = 2 - 2lang<= u,vrang<=
  1. Isolando lang<= u,vrang<=:
4 - 2 = -2lang<= u,vrang<= Longrightarrow 2 = -2lang<= u,vrang<= Longrightarrow lang<= u,vrang<= = -1

Passo 3

Resolvendo a parte (b).
  1. Agora usamos a expansão para |u+v|^2:
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2lang<= u,vrang<=
  1. Substituindo |u+v|=raiz129 (logo |u+v|^2=129), e |u|^2=25, |v|^2=64:
129 = 25 + 64 + 2lang<= u,vrang<= Longrightarrow 129 = 89 + 2lang<= u,vrang<= Longrightarrow 2lang<= u,vrang<= = 40 Longrightarrow lang<= u,vrang<= = 20
  1. Para achar o ângulo theta, usamos
    costheta = dfraclang<= u,vrang<=|u|;|v|.
    Substituindo:
costheta = 205cdot 8 = 2040 = tfrac12 Longrightarrow theta = arccos!l(tfrac12r) = 60^circ

Resposta

(a) lang<= u,vrang<= = -1.
(b) O ângulo entre u e v é 60^circ.

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